Uma interação predador-presa é descrita pelo modelo de Lotka-Volterra
\begin{aligned} x^{\prime} & =-0,1 x+0,02 x y \\\ y^{\prime} & =0,2 y-0,025 x y \end{aligned}
(a) Determine o ponto crítico no primeiro quadrante e use um programa de cálculo numérico para esboçar alguns ciclos de população.
(b) Estime o período das soluções periódicas que estão próximas ao ponto crítico em (a).
O enunciado pede:
(1) encontrar o ponto crítico no primeiro quadrante e, com um programa numérico, esboçar alguns ciclos de população;
(2) estimar o período das órbitas periódicas próximas a esse ponto crítico.
Passo 2
Para achar os pontos críticos, igualamos x'=0\) e \(y'=0\):
\[\begin{cases} -0,1\,x + 0,02\,x\,y = 0,\\\\ 0,2\,y - 0,025\,x\,y = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem x(-0,1 + 0,02\,y)=0\], logo \(x=0 ou y=5.
Da segunda vem y(0,2 - 0,025\,x)=0, logo y=0 ou x=8.
O ponto não trivial no primeiro quadrante é
(x^*,y^*) = (8,5).
Passo 3
Para esboçar ciclos de população, podemos usar Python e o integrador odeint de scipy. Por exemplo:
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
deflotka(z, t):
x, y \(=\) z
dx \(=\) -\(0.1\)*x \(+0.02\)*x*y
dy \(=0.2\)*y - \(0.025\)*x*y
return [dx, dy]
t \(=\) np.linspace(\(0,200\),\(5000\))
conds \(=\) [[\(8.5\),\(5\)], [\(7.5\),\(5\)], [\(8,5\).\(5\)], [\(8,4\).\(5\)]]
for z\(0\) in conds:
sol \(=\) odeint(lotka, z\(0\), t)
plt.plot(sol[:,\(0\)], sol[:,\(1\)])
plt.scatter(\(8,5\), color\(=\)'red')
plt.xlabel('x (presa)'); plt.ylabel('y (predador)')
plt.title('Retrato de fase'); plt.grid(); plt.show()
Esse código traça várias órbitas em torno de (8,5).
Passo 4
O gráfico de fase resultante mostra ciclos fechados ao redor de (8,5), indicando soluções periódicas – características de um centro no sistema.
Passo 5
Para estimar o período, fazemos a linearização em (8,5). A matriz Jacobiana é