Uma partícula é liberada a partir da posição x(0)=x_{0} na curva z=x^{2} / 2 com velocidade inicial x^{\prime}(0)=v_{0} \mathrm{~cm} / \mathrm{s}.
(a) Use o método do plano de fase para mostrar que a solução resultante é periódica quando o sistema é não amortecido.
(b) Mostre que a altura máxima z_{\text {max }} atingida pela partícula é dada por
z_{\max }=\frac{1}{2}\left[e^{v_{0}^{2} / g}\left(1+x_{0}^{2}\right)-1\right] .

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula que desliza sem atrito ao longo da curva
z = \tfrac12 x^2
sob a ação da gravidade g. Inicialmente x(0)=x_{0} e x'(0)=v_{0}.
Conteúdos necessários: equação de movimento para um corpo restrito a uma curva, conservação de energia, método do plano de fase (análise de órbitas em (x,x')).

Passo 2

Escrevemos a energia mecânica total E. A energia cinética é
T = \tfrac m2\bigl(\dot x^2 + \dot z^2\bigr) = \tfrac m2\bigl(1 + (dz/dx)^2\bigr)\dot x^2 = \tfrac m2\bigl(1 + x^2\bigr)\dot x^2,
e a energia potencial
V = mg\,z = \tfrac{mg}{2}\,x^2.
Como não há amortecimento, E=T+V é constante.

Passo 3

Da conservação de energia
E = \tfrac m2(1+x^2)\dot x^2 + \tfrac{mg}{2}\,x^2 = \text{const},
dividindo por m/2 obtemos
(1+x^2)\dot x^2 + g\,x^2 = C,
onde C é uma constante de integração. No plano de fase (x,\dot x) isso define órbitas fechadas (níveis de energia) e, portanto, o movimento é periódico.

Passo 4

Impondo as condições iniciais x(0)=x_0, \dot x(0)=v_0, temos
C = (1+x_0^2)\,v_0^2 + g\,x_0^2.

Passo 5

O ponto de retorno (amplitude máxima x_{\max}) ocorre quando \dot x=0. Da equação de energia:
0 + g\,x_{\max}^2 = C \quad\Longrightarrow\quad x_{\max}^2 = \frac{C}{g} = x_0^2 + \frac{1+x_0^2}{g}\,v_0^2.

Passo 6

A altura máxima na curva é
z_{\max} = \tfrac12\,x_{\max}^2 = \frac{1}{2}\Bigl(x_0^2 + \frac{1+x_0^2}{g}\,v_0^2\Bigr) = \frac{(1+x_0^2)\,v_0^2 + g\,x_0^2}{2\,g}.

Resposta

z_{\max} = \frac{(1+x_0^2)\,v_0^2 + g\,x_0^2}{2\,g}.
Observação: esse resultado difere da expressão \tfrac12\bigl[e^{v_0^2/g}(1+x_0^2)-1\bigr] apresentada no enunciado, sugerindo possível erro de impressão.

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