Uma partícula é liberada a partir da posição
na curva
com velocidade inicial
.
(a) Use o método do plano de fase para mostrar que a solução resultante é periódica quando o sistema é não amortecido.
(b) Mostre que a altura máxima
atingida pela partícula é dada por
(a) Use o método do plano de fase para mostrar que a solução resultante é periódica quando o sistema é não amortecido.
(b) Mostre que a altura máxima
Passo 1
O enunciado trata de uma partícula que desliza sem atrito ao longo da curva
sob a ação da gravidade
. Inicialmente
e
.
Conteúdos necessários: equação de movimento para um corpo restrito a uma curva, conservação de energia, método do plano de fase (análise de órbitas em ).
Conteúdos necessários: equação de movimento para um corpo restrito a uma curva, conservação de energia, método do plano de fase (análise de órbitas em
Passo 2
Escrevemos a energia mecânica total
. A energia cinética é
e a energia potencial
Como não há amortecimento,
é constante.
Passo 3
Da conservação de energia
dividindo por
obtemos
onde
é uma constante de integração. No plano de fase
isso define órbitas fechadas (níveis de energia) e, portanto, o movimento é periódico.
Passo 4
Impondo as condições iniciais
,
, temos
Passo 5
O ponto de retorno (amplitude máxima
) ocorre quando
. Da equação de energia:
Passo 6
A altura máxima na curva é
Resposta
Observação: esse resultado difere da expressão
apresentada no enunciado, sugerindo possível erro de impressão.