Se tanto o predador como a presa forem explorados dessa maneira, a equação diferencial de Lotka-Volterra assume a forma
Em muitos modelos científicos de pesca, a taxa na qual uma espécie é capturada é considerada como sendo diretamente proporcional à sua abundância.
\begin{aligned} & x^{\prime}=-a x+b x y-\varepsilon_{1} x \\\ & y^{\prime}=-c x y+d y-\varepsilon_{2} y \end{aligned}
onde \varepsilon_{1} e \varepsilon_{2} são constantes positivas.
(a) Quando \varepsilon_{2}<d, mostre que existe um ponto crítico novo no primeiro quadrante, sendo ele um centro.
(b) O princípio de Volterra afirma que uma quantidade moderada de exploração aumenta o número médio de presas e reduz o número médio de predadores. Esse modelo de pesca é consistente com o princípio de Volterra?

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema de Lotka–Volterra com exploração de ambas as espécies:
\begin{cases} x'=-a x + b x y - \varepsilon_{1} x,\\\ y'=-c x y + d y - \varepsilon_{2} y, \end{cases}
onde x é a população de predadores e y a população de presas, e \varepsilon_{1},\varepsilon_{2}>0 são as taxas de pesca. Queremos (a) achar o ponto de equilíbrio no primeiro quadrante quando \varepsilon_{2}<d e mostrar que ele é um centro; (b) verificar se esse modelo satisfaz o princípio de Volterra, que diz que pesca moderada aumenta o número médio de presas e reduz o número médio de predadores.

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos, impomos x'=0 e y'=0. De x' = x(-a + b y - \varepsilon_{1}) = 0 vem
\text{ou }x=0,\quad\text{ou }b y = a + \varepsilon_{1}\;\Longrightarrow\;y=\frac{a+\varepsilon_{1}}{b}.
De y' = y(-c x + d - \varepsilon_{2}) = 0 vem
\text{ou }y=0,\quad\text{ou }c x = d - \varepsilon_{2}\;\Longrightarrow\;x=\frac{d-\varepsilon_{2}}{c}.
O novo ponto crítico no primeiro quadrante é, portanto,
(x^*,y^*)=\Bigl(\frac{d-\varepsilon_{2}}{c},\,\frac{a+\varepsilon_{1}}{b}\Bigr),
que existe e tem ambas coordenadas positivas se, e somente se, \varepsilon_{2}<d.

Passo 3

Para classificar esse ponto, calculamos a jacobiana do sistema:
J(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial x'}{\partial x} & \frac{\partial x'}{\partial y}\\[6pt] \frac{\partial y'}{\partial x} & \frac{\partial y'}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\,a + b y - \varepsilon_{1} & b x\\[3pt] -\,c y & -\,c x + d - \varepsilon_{2} \end{pmatrix}.
No ponto (x^*,y^*) temos
-\,a + b y^* - \varepsilon_{1} = -a + b\frac{a+\varepsilon_{1}}{b}-\varepsilon_{1}=0, \quad -\,c x^* + d - \varepsilon_{2} = -c\frac{d-\varepsilon_{2}}{c}+d-\varepsilon_{2}=0.
Logo o traço é
\mathrm{tr}\,J(x^*,y^*)=0+0=0,
e o determinante é
\det J(x^*,y^*) = \bigl(0\bigr)\bigl(0\bigr)-\bigl(b\,x^*\bigr)\bigl(-c\,y^*\bigr) = b\,c\,x^*\,y^* = (d-\varepsilon_{2})(a+\varepsilon_{1})>0.
Traço nulo e determinante positivo caracterizam um ponto do tipo centro (autovalores puramente imaginários).]

Passo 4

O ponto de equilíbrio clássico (sem pesca) é \bigl(d/c,\;a/b\bigr). Com pesca, as coordenadas tornam-se
x^*=\frac{d-\varepsilon_{2}}{c},\quad y^*=\frac{a+\varepsilon_{1}}{b}.
Isto significa que:
  • Se \varepsilon_{1}>0 (pesca de predador), então y^*=(a+\varepsilon_{1})/b>a/b: a população média de presas aumenta.
  • Se \varepsilon_{2}>0 (pesca de presa), então x^*=(d-\varepsilon_{2})/c<d/c: a população média de predadores diminui.
Esses resultados coincidem exatamente com o princípio de Volterra.

Resposta

(a) O novo ponto crítico em \mathbb{R}_{+}^2 é
\Bigl(\frac{d-\varepsilon_{2}}{c},\,\frac{a+\varepsilon_{1}}{b}\Bigr),
que é um centro, pois na linearização o traço é zero e o determinante positivo.
(b) Sim. A pesca moderada de predadores ( \varepsilon_{1}>0) eleva a média de presas, e a pesca moderada de presas ( \varepsilon_{2}>0) reduz a média de predadores, conforme o princípio de Volterra.

Exercícios de Livros Relacionados