Se tanto o predador como a presa forem explorados dessa maneira, a equação diferencial de Lotka-Volterra assume a forma
Em muitos modelos científicos de pesca, a taxa na qual uma espécie é capturada é considerada como sendo diretamente proporcional à sua abundância.
\begin{aligned} & x^{\prime}=-a x+b x y-\varepsilon_{1} x \\\ & y^{\prime}=-c x y+d y-\varepsilon_{2} y \end{aligned}
onde \varepsilon_{1} e \varepsilon_{2} são constantes positivas.
(a) Quando \varepsilon_{2}<d, mostre que existe um ponto crítico novo no primeiro quadrante, sendo ele um centro.
(b) O princípio de Volterra afirma que uma quantidade moderada de exploração aumenta o número médio de presas e reduz o número médio de predadores. Esse modelo de pesca é consistente com o princípio de Volterra?
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema de Lotka–Volterra com exploração de ambas as espécies:
\begin{cases} x'=-a x + b x y - \varepsilon_{1} x,\\\ y'=-c x y + d y - \varepsilon_{2} y, \end{cases}
onde x é a população de predadores e y a população de presas, e \varepsilon_{1},\varepsilon_{2}>0 são as taxas de pesca. Queremos (a) achar o ponto de equilíbrio no primeiro quadrante quando \varepsilon_{2}<d e mostrar que ele é um centro; (b) verificar se esse modelo satisfaz o princípio de Volterra, que diz que pesca moderada aumenta o número médio de presas e reduz o número médio de predadores.
Passo 2
Para encontrar os pontos críticos, impomos x'=0 e y'=0. De x' = x(-a + b y - \varepsilon_{1}) = 0 vem
\text{ou }x=0,\quad\text{ou }b y = a + \varepsilon_{1}\;\Longrightarrow\;y=\frac{a+\varepsilon_{1}}{b}.
De y' = y(-c x + d - \varepsilon_{2}) = 0 vem
\text{ou }y=0,\quad\text{ou }c x = d - \varepsilon_{2}\;\Longrightarrow\;x=\frac{d-\varepsilon_{2}}{c}.
O novo ponto crítico no primeiro quadrante é, portanto,
que é um centro, pois na linearização o traço é zero e o determinante positivo.
(b) Sim. A pesca moderada de predadores (\varepsilon_{1}>0) eleva a média de presas, e a pesca moderada de presas (\varepsilon_{2}>0) reduz a média de predadores, conforme o princípio de Volterra.
Cálculo - Dennis G. Zill e Michael R. Cullen - Matemática Avançada para Engenharia - Vol 3 - 3ª Edição - Capítulo 2.2.4 - Ex. 9