Investigar a convergência das seguintes séries, valendo-se dos critérios de confronto (ou do critério necessário):
2+\frac{2^{2}}{2}+\frac{2^{3}}{3}+\ldots+\frac{2^{n}}{n}+\ldots

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n},
que é uma série de termos positivos. Para isso, vamos usar o critério da razão e também o critério necessário (termo geral).

Passo 2

Aplicamos o critério da razão. Seja
a_n = \frac{2^n}{n}.
Então calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{2^{n+1}}{\,n+1\,}}{\frac{2^n}{n}} = \frac{2^{n+1}}{2^n}\,\frac{n}{\,n+1\,} = 2\;\frac{n}{\,n+1\,}.

Passo 3

Tomando o limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} 2\,\frac{n}{n+1} = 2.
Como esse limite é maior que 1, o critério da razão garante que a série diverge.

Passo 4

Para reforçar, note que o termo geral não tende a zero:
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{n} = +\infty \neq 0,
logo, pelo critério necessário, a série não pode convergir.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n} diverge.

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