Investigar a convergência das seguintes séries, valendo-se dos critérios de confronto (ou do critério necessário):
\frac{2}{5}+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}\right)^{2}+\frac{1}{3}\left(\frac{2}{5}\right)^{3}+\ldots+\frac{1}{n}\left(\frac{2}{5}\right)^{n}+\ldots

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\Bigl(\frac{2}{5}\Bigr)^{n}.
O conteúdo é séries numéricas e vamos usar o critério de comparação (ou o teste da razão) para investigar a convergência.

Passo 2

Primeiro, verificamos a condição necessária de convergência:
a_{n}=\frac{1}{n}\Bigl(\frac{2}{5}\Bigr)^{n} \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\Bigl(\frac{2}{5}\Bigr)^{n} =0,
portanto não há divergência óbvia. Para usar o critério de comparação, note que para todo n\ge1 vale \frac{1}{n}\le1, logo
0\le a_{n} =\frac{1}{n}\Bigl(\frac{2}{5}\Bigr)^{n} \le \Bigl(\frac{2}{5}\Bigr)^{n}.

Passo 3

A série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{2}{5}\Bigr)^{n}
é geométrica de razão r=\tfrac{2}{5} com |r|<1, portanto converge. Pelo critério de comparação, a série original \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}(\tfrac{2}{5})^{n} também converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

Exercícios de Livros Relacionados