Investigar a convergência das seguintes séries, valendo-se dos critérios de confronto (ou do critério necessário):
1-1+1-1+\ldots+(-1)^{n-1}+\ldots

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
1 - 1 + 1 - 1 + \dots + (-1)^{n-1} + \dots
Isso é um exemplo clássico de série alternada em que o n-ésimo termo é
a_n = (-1)^{n-1}.
O conteúdo principal aqui é o crité­rio necessário de convergência de séries, que diz que, se a série \sum a_n converge, então necessariamente \lim_{n\to\infty}a_n=0.

Passo 2

Recordando o crité­rio necessário:
Se \sum_{n=1}^\infty a_n converge, então
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.
Caso \lim_{n\to\infty}a_n\neq0 ou não exista, a série não pode convergir.

Passo 3

Aqui temos a_n = (-1)^{n-1}. Vamos calcular o limite:
\lim_{n\to\infty}(-1)^{n-1}.
Esse limite não existe, pois os termos oscilam entre +1 e -1 e jamais se aproximam de zero.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty}a_n não existe (e em particular não é zero), pelo critério necessário a série
\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}
não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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