Investigar a convergência das seguintes séries, valendo-se dos critérios de confronto (ou do critério necessário):
\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\ldots+\frac{1}{2 n}+\ldots

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}.
O conteúdo é sobre séries numéricas e usaremos o critério necessário (para ver se \lim a_n=0) e o critério de comparação em limite (limit-comparison) com a série harmônica \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}.

Passo 2

Identificamos o termo geral da série como
a_n = \frac{1}{2n}.
Aplicando o critério necessário para convergência, verificamos
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n} = 0.
Como esse limite é zero, o critério necessário não descarta convergência, mas também não garante.

Passo 3

Para decidir, usamos o critério de comparação em limite com a série harmônica
b_n = \frac{1}{n},
cuja soma \sum b_n é conhecida por divergir.

Passo 4

Calculamos o limite da razão dos termos:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\tfrac{1}{2n}}{\tfrac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\;(\text{número finito e positivo}).ú
Pelo critério de comparação em limite, como \sum b_n diverge e o limite acima é um número em (0,\infty), a série \sum a_n também diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n} diverge.

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