(ITA-SP) Analise a existência de conjuntos
e
, ambos não vazios, tais que
.
Passo 1
O enunciado pede para ver se existem conjuntos não vazios
e
tais que
Esse lado esquerdo é justamente a diferença simétrica
. Precisaremos usar a definição de união e diferença de conjuntos e raciocinar por pertinência de um elemento
.
Passo 2
Vamos traduzir em termos de pertinência. Um elemento
pertence a
se, e somente se,
Queremos que isso seja equivalente a “
”.
Passo 3
Suponha
. Para satisfazer a equivalência, deve ocorrer
Dessa forma, pelo “ou” acima, necessariamente temos
. Logo
Passo 4
Agora suponha
. Para a igualdade de conjuntos valher, esse
não pode pertencer ao lado esquerdo, ou seja,
Mas, se
, a única forma de ele cair em
seria via
. Para evitar isso é preciso
. Como vale para todo
, obtemos
Passo 5
Dos dois resultados
e
segue
Ou seja, a única maneira de
é fazendo
vazio. Mas o enunciado exige
não vazio.
Resposta
Não existem conjuntos não vazios
e
que satisfaçam
; a única solução seria
, o que viola a hipótese de
não vazio.