(ITA-SP) Analise a existência de conjuntos A e B, ambos não vazios, tais que (A-B) cup cup(B-A)=A.

Passo 1

O enunciado pede para ver se existem conjuntos não vazios A e B tais que
(A - B)cup(B - A)=A
Esse lado esquerdo é justamente a diferença simétrica A;De<a;B. Precisaremos usar a definição de união e diferença de conjuntos e raciocinar por pertinência de um elemento x.

Passo 2

Vamos traduzir em termos de pertinência. Um elemento x pertence a (A - B)cup(B - A) se, e somente se,
l(xin A land xnotin Br)oul(xin Bland xnotin Ar)
Queremos que isso seja equivalente a “ xin A”.

Passo 3

Suponha xin A. Para satisfazer a equivalência, deve ocorrer
xin (A - B)cup(B - A)
Dessa forma, pelo “ou” acima, necessariamente temos xin Aland xnotin B. Logo
Asubseteq Asetminus BLongrightarrow Acap B=emptyset

Passo 4

Agora suponha xnotin A. Para a igualdade de conjuntos valher, esse x não pode pertencer ao lado esquerdo, ou seja,
xnotin (A - B)cup(B - A)
Mas, se xnotin A, a única forma de ele cair em (A-B)cup(B-A) seria via xin Bland xnotin A. Para evitar isso é preciso xnotin B. Como vale para todo xnotin A, obtemos
Bsubseteq A

Passo 5

Dos dois resultados Acap B=emptyset e Bsubseteq A segue
B=emptyset
Ou seja, a única maneira de
(A - B)cup(B - A)=A
é fazendo B vazio. Mas o enunciado exige B não vazio.

Resposta

Não existem conjuntos não vazios A e B que satisfaçam (A - B)cup(B - A)=A; a única solução seria B=emptyset, o que viola a hipótese de B não vazio.

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