(ITA-99) O conjunto de todos os números reais q>1, para os quais a_{1}, a_{2} e a_{3}, formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q e representam as medidas dos lados de um triângulo, é:
a) ] 1, \frac{i+\sqrt{5}}{2}[
b) ] 1, \frac{i+\sqrt{5}}{2} ]
c) ] 1, \frac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{5}} ]
d) ] 1, \frac{1+\sqrt{5}}{4}[
e) ] 1,1+\sqrt{5}[

Passo 1

O enunciado pede todos os reais q>1 tais que três termos a_{1},a_{2},a_{3} em progressão geométrica de razão q possam ser comprimentos de lados de um triângulo. O conteúdo envolvido é progressão geométrica e as desigualdades de existência de triângulo (desigualdades triangulares).

Passo 2

Seja a_{1}>0. Como é progressão geométrica de razão q, temos
a_{2}=a_{1}q, \quad a_{3}=a_{1}q^{2}.

Passo 3

Para que a_{1},a_{2},a_{3} sejam lados de triângulo, é preciso satisfazer:
a_{1}+a_{2}>a_{3}, \quad a_{2}+a_{3}>a_{1}, \quad a_{3}+a_{1}>a_{2}.

Passo 4

Substituindo,
  1. a_{1}+a_{1}q>a_{1}q^{2}
1+q>q^{2} \quad\Longleftrightarrow\quad q^{2}-q-1<0.
  1. a_{1}q+a_{1}q^{2}>a_{1} é q+q^{2}>1, sempre verdade para q>1.
  2. a_{1}q^{2}+a_{1}>a_{1}q é q^{2}+1>q, sempre verdade (discriminante negativo).

Passo 5

A desigualdade q^{2}-q-1<0 tem raízes
\frac{1\pm\sqrt{5}}{2},
logo é satisfeita quando
\frac{1-\sqrt{5}}{2}<q<\frac{1+\sqrt{5}}{2}.
Como queremos q>1, a solução é
1<q<\frac{1+\sqrt{5}}{2}.

Resposta

]1,\frac{1+\sqrt{5}}{2}[ (alternativa a) )

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