(ITA-95) Considere C uma circunferência centrada em O e raio 2 r, e t a reta tangente a C num ponto T. Considere também A um ponto de C tal que A \hat{O} T=\theta é um ângulo agudo. Sendo B o ponto de t tal que o segmento A B é paralelo ao segmento O T, então área do trapézio O A B T é:
a) r^{2}(2 \cos \theta-\cos 2 \theta)
b) \mathrm{r}^{2}(2 \operatorname{sen} \theta-\cos \theta)
c) 2 r^{2}(4 \cos \theta-\operatorname{sen} 2 \theta)
d) 2 r^{2}(2 \operatorname{sen} 2 \theta-\cos 2 \theta)

Passo 1

Vamos colocar o círculo de raio 2r centrado em O no plano de forma que o ponto de tangência T seja T=(2r,0). A reta tangente em T é então a vertical x=2r. O ponto A do círculo que faz \widehat{AOT}=\theta (ângulo no centro) tem coordenadas
A = \bigl(2r\cos\theta,\;2r\sin\theta\bigr).
O segmento OT vai de (0,0) a (2r,0).

Passo 2

Como AB\parallel OT e OT é horizontal, o segmento AB também é horizontal. Logo B é a interseção da horizontal que passa por A com a reta x=2r. Assim
B = \bigl(2r,\;2r\sin\theta\bigr).

Passo 3

O trapézio OABT tem bases paralelas
OT: \text{ comprimento }=2r, \qquad AB: \text{ comprimento }=B_x - A_x = 2r - 2r\cos\theta = 2r(1-\cos\theta),
e a distância entre essas bases (a “altura” do trapézio) é a diferença de ordenadas entre AB e OT, isto é
h = 2r\sin\theta - 0 = 2r\sin\theta.

Passo 4

A área de um trapézio é
\text{Área} = \frac{(\text{base}_1 + \text{base}_2)}{2}\;\times\;\text{altura}.Á
Aqui
\text{Área} = \frac{2r + 2r(1-\cos\theta)}{2}\;\times\;(2r\sin\theta) = \frac{2r(2-\cos\theta)}{2}\;\times\;(2r\sin\theta) =2r^2\sin\theta\,(2-\cos\theta).Á
Expandindo,
2r^2\sin\theta\,(2-\cos\theta) =4r^2\sin\theta-2r^2\sin\theta\cos\theta =4r^2\sin\theta-r^2\bigl(2\sin\theta\cos\theta\bigr) =4r^2\sin\theta-r^2\sin2\theta.

Resposta

A área do trapézio OABT é
\boxed{4r^2\sin\theta \;-\;r^2\sin2\theta}.

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