(EPCAr-2001) De um ponto P exterior a uma circunferência, traçam-se uma secante PB de 32 cm , que passa pelo seu centro, e uma tangente PT cujo comprimento é de 24 cm . O comprimento dessa circunferência, em cm, é

Passo 1

Temos um ponto P exterior a uma circunferência de centro O e raio R. Do ponto P sai uma secante que passa por O e atinge a circunferência em A (mais próximo) e em B (mais distante), com P B=32. Dessas mesmas P sai uma tangente P T de comprimento 24. Queremos achar o comprimento da circunferência, isto é, 2\pi R. Vamos usar o teorema do poder de um ponto.

Passo 2

Denotemos P O=d. Como P, A, O, B são colineares e O está entre A e B, temos
P B = d + R = 32,
P A = d - R.

Passo 3

Pelo poder de P em relação à circunferência:
P A \cdot P B = P T^2.
Isto é,
(d - R)(d + R) = 24^2 = 576.
Como d+R=32, segue d=32 - R. Substituindo,
\bigl((32 - R) - R\bigr)\cdot 32 = 576 \quad\Longrightarrow\quad (32 - 2R)\,32 = 576
1024 - 64R = 576 \quad\Longrightarrow\quad 64R = 448 \quad\Longrightarrow\quad R = 7.

Passo 4

O comprimento da circunferência é
C = 2\pi R = 2\pi \cdot 7 = 14\pi.

Resposta

14\pi

Exercícios de Livros Relacionados