(ITA-SP) Considere a equação (a^x-a^-x)(a^x+a^-x)=m, na variável real x, com 0<a neq 1. 0 conjunto de todos os valores de m para os quais esta equação admite solução real é:

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de valores de m para os quais a equação
a^x - a^-xa^x + a^-x = m,
na variável real x, com 0<aneq1, admite solução. Aqui vamos estudar a imagem de uma função definida por exponenciais.

Passo 2

Definindo y=a^x, vemos que y>0 para todo x. Então
a^x - a^-xa^x + a^-x = y - tfrac1yy + tfrac1y

Passo 3

Multiplicando numerador e denominador por y obtemos
y^2 - 1y^2 + 1
Chamando t=y^2>0, a função fica
f(t)=t-1t+1, t>0

Passo 4

Para achar a imagem de f, calculamos a derivada:
f'(t)=2(t+1)^2>0,
então f é estritamente crescente em (0,infty). Além disso,
quando tto0^+ temos f(t)to-1 e quando ttoinfty temos f(t)to1. Como f não atinge esses extremos, sua imagem é o intervalo aberto (-1,1).

Passo 5

Concluímos que a equação admite solução real se, e somente se,
min(-1,1)

Resposta

(-1,1)

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