(PUC-PR) O valor de x que satisfaz a equação 0,2^x-0,5raiz5=5 cdot 0,04^x-1 está compreendido no intervalo:

Passo 1

O enunciado pede o valor de x que satisfaz
0,2^,x-0,5raiz5=5cdot0,04^,x-1
É um exercício de equações exponenciais, em que vamos reescrever todas as bases como potências de 5 e depois igualar os expoentes.

Passo 2

Reescrevendo o lado esquerdo em potências de 5:
0,2 = 15 = 5^-1, raiz5=5^tfrac12
Logo,
0,2^,x-0,5 = (5^-1)^,x-0,5 = 5^-(x-0,5)
e
0,2^,x-0,5raiz5 = 5^-(x-0,5)5^tfrac12 = 5^-(x-0,5)-tfrac12 = 5^-x

Passo 3

Reescrevendo o lado direito em potências de 5:
0,04 = 125 = 5^-2,
então
0,04^,x-1 = (5^-2)^,x-1 = 5^-2x+2
e
5cdot0,04^,x-1 = 5 cdot 5^-2x+2 = 5^1-2x+2 = 5^3-2x

Passo 4

Agora a equação fica
5^-x = 5^3-2x,
e, como as bases são iguais e não nulas, basta igualar os expoentes:
-,x = 3 - 2x

Passo 5

Resolvendo -x = 3 - 2x, temos
-x + 2x = 3 Rightarrow x = 3
Como x=3, concluímos que ele pertence ao intervalo (2,4).

Resposta

(2,4)

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