(ITA-SP) Dado z=12(-1+raiz3 i), então sumn=1^89 z^n é igual a:
a) -892 raiz3 i
b) -1
c) 0
d) 1
e) 896 raiz3 i

Passo 1

O enunciado dá z=tfrac12(-1+raiz3,i) e pede a soma
S=sumn=1^89z^n
O conteúdo aqui é série geométrica em números complexos e uso de raízes da unidade.

Passo 2

Note que
z=-tfrac12+tfracraiz32i=costfrac2pi3+isintfrac2pi3=e^i2pi/3,
ou seja z^3=1 e z^n é periódico de período 3.

Passo 3

Agrupamos os termos em blocos de 3:
z^1+z^2+z^3= e^i2pi/3+e^i4pi/3+1=0,
e 89=3cdot29+2, logo os primeiros 3cdot29 termos somam zero. Restam
z^88+z^89=z^(3cdot29+1)+z^(3cdot29+2)=z+z^2 =(-tfrac12+tfracraiz32i)+(-tfrac12-tfracraiz32i)=-1
Portanto
S=-1

Resposta

(b) -1

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