(UF-PR) Considere os números complexos
e
, sendo
unidade imaginária.
a) Escreva os números
e
, na forma
.
b) Sabendo que
e 2 são raízes do polinômio
, calcule os valores de
e
.
a) Escreva os números
b) Sabendo que
Passo 1
O enunciado dá os números complexos
e
e pede em (a) os valores de
e
na forma
, e em (b) os coeficientes
de um polinômio monico de grau
cuja raízes são
e
. Vamos usar cálculo de potências de números complexos e as fórmulas de Viète para polinômios.
Passo 2
Calcular
.
Temos
Temos
Passo 3
Calcular
.
Primeiro
Primeiro
de onde
Passo 4
Usar Viète para achar
.
Para o polinômio monico
Para o polinômio monico
as raízes satisfazem
Como
, segue
Passo 5
Usar Viète para achar
.
A soma dos produtos dois a dois é
A soma dos produtos dois a dois é
Como
e
, obtemos
Passo 6
Usar Viète para achar
.
O produto das três raízes é
O produto das três raízes é
Como
, segue
Resposta
a)
,\quad
.
b) ,\quad
,\quad
.
b)