(UF-PR) Considere os números complexos z=1+i e barz=1-i, sendo i=raiz-1 a unidade imaginária.
a) Escreva os números z^3 e barz^4=1-i, na forma x+i y.
b) Sabendo que z, barz e 2 são raízes do polinômio P(x)=x^3+a x^2+b x+c, calcule os valores de a, b e c.

Passo 1

O enunciado dá os números complexos z=1+i e bar z=1-i e pede em (a) os valores de z^3 e bar z^4 na forma x+i y, e em (b) os coeficientes a,b,c de um polinômio monico de grau 3 cuja raízes são z,bar z e 2. Vamos usar cálculo de potências de números complexos e as fórmulas de Viète para polinômios.

Passo 2

Calcular z^3.
Temos
z^3 = (1+i)^3 = 1 + 3i + 3i^2 + i^3 = 1 + 3i -3 - i = -2 + 2i

Passo 3

Calcular bar z^4.
Primeiro
(1-i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i,
de onde
bar z^4 = (1-i)^4 =l((1-i)^2r)^2 = (-2i)^2 = -4

Passo 4

Usar Viète para achar a.
Para o polinômio monico
P(x)=x^3+a x^2+b x+c
as raízes satisfazem
z+bar z+2 = -a
Como z+bar z=(1+i)+(1-i)=2, segue
2+2 = -a Longrightarrow a=-4

Passo 5

Usar Viète para achar b.
A soma dos produtos dois a dois é
zbar z + zcdot2 + bar zcdot2 = b
Como zbar z=|z|^2=2 e zcdot2=2+2i,;bar zcdot2=2-2i, obtemos
2 + (2+2i)+(2-2i) = 6 Longrightarrow b=6

Passo 6

Usar Viète para achar c.
O produto das três raízes é
zcdotbar zcdot2 = -,c
Como zbar z=2, segue
2cdot2 = 4 = -c Longrightarrow c=-4

Resposta

a) z^3 = -2 + 2i,\quad barz^4 = -4 + 0,i.
b) a = -4,\quad b = 6,\quad c = -4.

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