(ITA-SP) Determine uma equação da circunferência inscrita no triângulo cujos vértices são A=(1,1), B=(1,7) e C=(5,4) no plano xOy .

Passo 1

O enunciado pede a equação da circunferência inscrita no triângulo com vértices A=(1,1), B=(1,7) e C=(5,4). Para isso vamos usar a fórmula do incentro (centro da circunferência inscrita) e calcular o raio como distância do incentro a um dos lados.

Passo 2

Calculamos os comprimentos dos lados:
a = BC = raiz(5-1)^2 + (4-7)^2 = 5
b = CA = raiz(5-1)^2 + (4-1)^2 = 5
c = AB = |7-1| = 6

Passo 3

As coordenadas do incentro I=(xI,yI) são médias ponderadas pelos lados opostos:
xI = a,xA + b,xB + c,xCa + b + c
yI = a,yA + b,yB + c,yCa + b + c
Substituindo os valores:
xI = 5cdot1 + 5cdot1 + 6cdot55+5+6 = 4016 = 2,5
yI = 5cdot1 + 5cdot7 + 6cdot416 = 6416 = 4

Passo 4

O raio r é a distância do incentro a um lado; escolhemos a reta AB que é x=1:
r = |xI - 1| = |2,5 - 1| = 1,5

Passo 5

A equação da circunferência de centro I=(2,5,4) e raio 1,5 é
(x - 2,5)^2 + (y - 4)^2 = (1,5)^2 = 2,25

Resposta

(x - 2,5)^2 + (y - 4)^2 = 2,25

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