(UF-MS) Sabendo-se que um quadrado tem um de seus vértices na origem do sistema cartesiano e que as equações das retas suportes de dois de seus lados são 3 x-y=0 e 3 x-y+10=0, então a medida de sua diagonal é igual a:
a) 2 raiz5
b) 2 raiz2
c) 5 raiz5
d) 5 raiz2
e) raiz2

Passo 1

O enunciado dá um quadrado com um dos vértices em (0,0) e diz que as retas que suportam dois de seus lados são
3x - y = 0
e
3x - y + 10 = 0
Como essas duas retas são paralelas, elas devem suportar lados opostos do quadrado. Para achar a diagonal, vamos primeiro encontrar a distância entre essas retas (que será o lado do quadrado) e depois usar a relação da diagonal em função do lado.

Passo 2

Seja uma reta genérica ax+by+c1=0 e outra paralela ax+by+c2=0. A distância entre elas é
d = |c2 - c1|raiza^2 + b^2
Aqui a=3, b=-1, c1=0 e c2=10. Logo
d = |10 - 0|raiz3^2 + (-1)^2 = 10raiz9 + 1 = 10raiz10 = raiz10
Esse valor raiz10 é o comprimento do lado do quadrado.

Passo 3

Em um quadrado de lado L, a diagonal D satisfaz
D = Lraiz2
Substituindo L = raiz10, obtemos
D = raiz10,raiz2 = raiz20 = 2raiz5

Resposta

a) 2raiz5

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