(UE-CE) Sobre o conjunto
dos pontos de interseção dos gráficos das funções definidas por
e
é possível afirmar, corretamente, que
:
a) é o único conjunto vazio.
c) possui dois elementos.
b) é um conjunto unitário.
d) possui três elementos.
a) é o único conjunto vazio.
c) possui dois elementos.
b) é um conjunto unitário.
d) possui três elementos.
Passo 1
O enunciado pede o conjunto
de soluções da equação
ou seja, os pontos de interseção dos gráficos de
e
. O conteúdo principal é a resolução de uma equação com valor absoluto, que envolve separar em dois casos conforme o sinal de
.
Passo 2
Caso 1:
, isto é,
. Nesse caso
e a equação fica
Defina
. Temos
e
. Além disso
muda de sinal apenas uma vez (é negativa para
e positiva depois), o que implica que
decresce até um mínimo e depois cresce para
. Logo existe exatamente uma solução em
, que de fato é
.
Passo 3
Caso 2:
, isto é,
. Aqui
e a equação vira
Seja
. Observamos
e
. Como
para todo
,
é estritamente crescente e, portanto, há exatamente uma raiz em
.
Passo 4
Com um caso gerando uma solução em
e o outro gerando
, concluímos que a equação
possui exatamente dois pontos de interseção.
Resposta
c) possui dois elementos.