(UE-CE) Sobre o conjunto M dos pontos de interseção dos gráficos das funções definidas por f(x)=|2^x-1| e g(x)=x+1 é possível afirmar, corretamente, que M :
a) é o único conjunto vazio.
c) possui dois elementos.
b) é um conjunto unitário.
d) possui três elementos.

Passo 1

O enunciado pede o conjunto M de soluções da equação
|2^x-1| = x+1,
ou seja, os pontos de interseção dos gráficos de f(x)=|2^x-1| e g(x)=x+1. O conteúdo principal é a resolução de uma equação com valor absoluto, que envolve separar em dois casos conforme o sinal de 2^x-1.

Passo 2

Caso 1: 2^x-1>=0, isto é, x>=0. Nesse caso |2^x-1|=2^x-1 e a equação fica
2^x-1 = x+1 Long<=ftrightarrow 2^x = x+2
Defina k(x)=2^x-(x+2). Temos k(0)=1-2=-1 e k(2)=4-4=0. Além disso
k'(x)=2^xln2 -1
muda de sinal apenas uma vez (é negativa para x<log2(1/ln2) e positiva depois), o que implica que k decresce até um mínimo e depois cresce para +infty. Logo existe exatamente uma solução em [0,infty), que de fato é x=2.

Passo 3

Caso 2: 2^x-1<0, isto é, x<0. Aqui |2^x-1|=1-2^x e a equação vira
1-2^x = x+1 Long<=ftrightarrow 2^x + x = 0
Seja h(x)=2^x + x. Observamos h(-1)=0,5-1=-0,5 e h(0)=1. Como
h'(x)=2^xln2 +1>0
para todo x, h é estritamente crescente e, portanto, há exatamente uma raiz em (-1,0).

Passo 4

Com um caso gerando uma solução em (-1,0) e o outro gerando x=2, concluímos que a equação |2^x-1|=x+1 possui exatamente dois pontos de interseção.

Resposta

c) possui dois elementos.

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