(ITA-96) Um hexágono regular e um quadrado estào inscritos no mesmo círculo de raio R e o hexágono possuí a aresta paralela a uma aresta do quadrado. A distancia entre estas duas arestas paralelas serí:
a) \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2} R
b) \frac{\sqrt{2}+1}{2} R
c) \frac{\sqrt{3}+1}{2} R
d) \frac{\sqrt{2}-1}{2} R

Passo 1

O enunciado diz que temos um hexágono regular e um quadrado inscritos no mesmo círculo de raio R, com uma aresta de cada polígono paralela. Queremos a distância entre essas duas arestas paralelas. Para isso vamos colocar ambas as arestas como cordas horizontais no círculo e calcular suas alturas em relação ao centro.

Passo 2

No quadrado inscrito, cada lado vale
L_q = \sqrt{2}\,R
e, se colocarmos esse lado como uma corda horizontal de meio comprimento L_q/2, sua distância vertical ao centro é
y_q = \sqrt{R^2 - \bigl(\tfrac{L_q}{2}\bigr)^2} = \sqrt{R^2 - \bigl(\tfrac{\sqrt{2}\,R}{2}\bigr)^2} = \sqrt{R^2 - \tfrac{R^2}{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}}.

Passo 3

No hexágono regular inscrito, cada lado vale
L_h = R,
logo, como corda horizontal de meio comprimento L_h/2, sua distância ao centro é
y_h = \sqrt{R^2 - \bigl(\tfrac{L_h}{2}\bigr)^2} = \sqrt{R^2 - \bigl(\tfrac{R}{2}\bigr)^2} = \sqrt{\tfrac{3}{4}}\,R = \frac{\sqrt{3}}{2}\,R.

Passo 4

A distância entre as duas arestas (cordas) paralelas é a diferença absoluta entre essas alturas:
|y_h - y_q| = \Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr)R = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}\,R.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}\,R (alternativa a) )

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