(ITA) Quantos anagramas da palavra CADERNO apresentam as vogais em ordem alfabética?
Solução:
Vamos analisar a simetria existente nas permutações da palavra CADERNO.
Existem 3 vogais (A, E e O) e, consequentemente, 3! posições relativas entre estas vogais. Uma destas posições relativas é exatamente a ordem alfabética. Observe que, na permutação sem restrições da palavra CADERNO, cada uma destas posições relativas das vogais aparece um igual número de vezes. A demonstração deste fato não é complicada. Basta observar que uma maneira de calcular o número de anagramas, sem restrições, da palavra CADERNO se baseia em escolher a posição que cada vogal vai ocupar no anagrama e depois permutar as 5 consoantes nos espaços restantes. Portanto, para cada posição relativa das vogais temos uma mesma quantidade de permutações das demais letras.
Deste modo, como cada uma das 3! posiçōes relativas ocorrem um mesmo número de vezes, existem
anagramas cm que as letras
e
aparecem cm ord cm alfabética.
Solução:
Existem 3 vogais (A, E e O) e, consequentemente, 3! posições relativas entre estas vogais. Uma destas posições relativas é exatamente a ordem alfabética. Observe que, na permutação sem restrições da palavra CADERNO, cada uma destas posições relativas das vogais aparece um igual número de vezes. A demonstração deste fato não é complicada. Basta observar que uma maneira de calcular o número de anagramas, sem restrições, da palavra CADERNO se baseia em escolher a posição que cada vogal vai ocupar no anagrama e depois permutar as 5 consoantes nos espaços restantes. Portanto, para cada posição relativa das vogais temos uma mesma quantidade de permutações das demais letras.
Deste modo, como cada uma das 3! posiçōes relativas ocorrem um mesmo número de vezes, existem
Passo 1
O enunciado pede o número de anagramas da palavra CADERNO em que as vogais A, E e O aparecem em ordem alfabética. O conteúdo é contagem de permutações com restrição de ordenação de um subconjunto de elementos. Vamos primeiro contar todas as permutações e depois usar um argumento de simetria para isolar aquelas em que as vogais ficam em ordem alfabética.
Passo 2
Como todas as 7 letras de CADERNO são distintas, o número total de anagramas sem restrição é
Passo 3
Entre todas as permutações, as três vogais podem aparecer em qualquer uma das
ordens relativas, todas igualmente prováveis por simetria. Apenas uma dessas ordens é a ordem alfabética A–E–O. Portanto, o total de anagramas desejados é