(OBM-98) De quantos modos se pode colocar na tabela abaixo duas letras A. duas letras B e duas letras C, uma em cada casa, de modo que não haja duas letras iguais na mesma coluna?

Passo 1

O enunciado pede para preencher uma tabela de 2 linhas por 3 colunas com exatamente duas letras A, duas letras B e duas letras C, usando uma letra por célula, de modo que em cada coluna as duas letras sejam distintas. O conteúdo é contagem de arranjos com restrição por coluna.

Passo 2

Observe que cada coluna vai conter um par de letras distintas, por exemplo \{A,B\}\), \(\{A,C\}\) ou \(\{B,C\}\). Como há 3 colunas e precisamos usar ao todo 2 cópias de cada letra, seja \(x_{AB}\), \(x_{AC}\) e \(x_{BC}\) o número de colunas com o par \(AB\), \(AC\) e \(BC\), respectivamente. Temos: \[x_{AB}+x_{AC}+x_{BC}=3,
e as condições de consumo de cada letra:
\begin{cases} x_{AB}+x_{AC}=2 &(\text{total de }A),\\\ x_{AB}+x_{BC}=2 &(\text{total de }B),\\\ x_{AC}+x_{BC}=2 &(\text{total de }C). \end{cases}
Dessas equações segue que (x_{AB}=x_{AC}=x_{BC}=1]: exatamente uma coluna de cada tipo de par.

Passo 3

Como tiramos que há exatamente uma coluna com o par AB, uma coluna com AC e uma coluna com BC, resta escolher em qual coluna vai cada par. Há 3! maneiras de distribuir os três pares entre as três colunas.

Passo 4

Dentro de cada coluna, uma vez escolhido o par (por exemplo AB), podemos colocar A em cima e B embaixo ou vice-versa. Cada coluna tem 2 ordenações, logo no total isso gera um fator 2^3.

Resposta

Multiplicando, obtemos
3! \times 2^3 = 6 \times 8 = 48.
Portanto, há 48 modos de preencher a tabela.

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