(ITA-SP) Seja ( a1, a2, a3, ldots ) uma progressão geométrica infinita de razão 0<a1<1 e soma igual a 3 a1. A soma dos três primeiros termos dessa progressão geométrica é:
a) 827
b) 2027
c) 2627
d) 3027
e) 3827

Passo 1

O enunciado dá uma progressão geométrica infinita cujo primeiro termo é ,a1 e cuja razão também é ,a1, com 0<a1<1. Sabe-se que a soma infinita vale 3a1. Para resolver, vamos usar a fórmula da soma de uma PG infinita e depois calcular os três primeiros termos.

Passo 2

A soma de uma PG infinita de primeiro termo a1 e razão a1 (com 0<a1<1) é
Sinfty=a11 - a1,
e pelo enunciado Sinfty=3a1. Então montamos a equação
a11 - a1 = 3a1

Passo 3

Como a1neq0, dividimos ambos os lados por a1:
11 - a1 = 3 Longrightarrow 1 - a1 = 13 Longrightarrow a1 = 23

Passo 4

Agora obtemos os dois termos seguintes usando a razão a1=tfrac23:
a2 = a1^2 = l(tfrac23r)^2 = 49, a3 = a1^3 = l(tfrac23r)^3 = 827

Passo 5

A soma dos três primeiros termos é
a1+a2+a3 = 23 + 49 + 827 = 18 + 12 + 827 = 3827

Resposta

3827 (alternativa e)

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