(FGV-SP) Sendo k uma constante real, o sistema de equações rx-y=2 k x+y=3 admite solução ( x, y ) no primeiro quadrante do plano cartesiano se, e somente se,
a) k=-1
b) k>-1
c) k <32
d) 0<k<32

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
x - y = 2, k,x + y = 3,
e pede para achar os valores de k tais que a solução (x,y) caia no primeiro quadrante, ou seja, x>0 e y>0. Vamos precisar resolver o sistema em função de k e impor essas duas desigualdades.

Passo 2

Da primeira equação isolamos y:
y = x - 2
Substituindo na segunda:
k,x + (x - 2) = 3 Longrightarrow (k+1),x = 5 Longrightarrow x = 5k+1

Passo 3

Usando y = x - 2, temos
y = 5k+1 - 2 = 5 - 2(k+1)k+1 = 3 - 2kk+1

Passo 4

Para x>0 precisamos
5k+1>0 Longrightarrow k+1>0 Longrightarrow k>-1

Passo 5

Para y>0 precisamos
3-2kk+1>0
Como já vimos que k+1>0, basta exigir o numerador positivo:
3-2k>0 Longrightarrow k<tfrac32

Passo 6

As duas condições simultâneas são
k>-1 e k<tfrac32 Longrightarrow -1<k<tfrac32

Resposta

-1<k<tfrac32.

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