(Fatec-SP) Sendo A uma matriz quadrada, define-se A. No caso de ser a matriz , é correto afirmar que a soma A+A^2+A^3+A^4+ldots+A^39+A^40 é igual à matriz:
a) [ll20 & 20 20 & 20]
b) [rr20 & 0 0 & 20]
c) [ll40 & 40 40 & 40]
d) [rr0 & 40 40 & 0]
e) [rr0 & 20 20 & 0]
Passo 1
O enunciado dá a matriz quadrada A abaixo e pede a soma sumn=1^40 A^n.
A = 0 & 1 [6pt] 1 & 0 ]
Passo 2
Vamos calcular A^2. Multiplicando A por si mesma:
A^2 = 0 & 1 1 & 0 0 & 1 1 & 0 = 1 & 0 0 & 1 = I
Passo 3
Como A^2=I, segue que para n par temos
A^n = I,
e para n ímpar temos
A^n = A
Passo 4
Entre n=1 e n=40 há 20 valores pares e 20 ímpares. Portanto
sumn=1^40A^n = 20,I ;+;20,A
Passo 5
Calculando a soma term a term:
20,I = 20 & 0 0 & 20, 20,A = 0 & 20 20 & 0
20,I + 20,A = 20 & 20 20 & 20
Resposta
(a) 20 & 20 [3pt] 20 & 20]
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo Questões de Vestibulares.Questões de Vestibular - Ex. 143