(Fatec-SP) Sendo A uma matriz quadrada, define-se A^n=A cdot A ldots A. No caso de A ser a matriz [ll0 & 1 1 & 0], é correto afirmar que a soma A+A^2+A^3+A^4+ldots+A^39+A^40 é igual à matriz:
a) [ll20 & 20 20 & 20]
b) [rr20 & 0 0 & 20]
c) [ll40 & 40 40 & 40]
d) [rr0 & 40 40 & 0]
e) [rr0 & 20 20 & 0]

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada A abaixo e pede a soma sumn=1^40 A^n.
A = 0 & 1 [6pt] 1 & 0 ]

Passo 2

Vamos calcular A^2. Multiplicando A por si mesma:
A^2 = 0 & 1 1 & 0 0 & 1 1 & 0 = 1 & 0 0 & 1 = I

Passo 3

Como A^2=I, segue que para n par temos
A^n = I,
e para n ímpar temos
A^n = A

Passo 4

Entre n=1 e n=40 20 valores pares e 20 ímpares. Portanto
sumn=1^40A^n = 20,I ;+;20,A

Passo 5

Calculando a soma term a term:
20,I = 20 & 0 0 & 20, 20,A = 0 & 20 20 & 0
20,I + 20,A = 20 & 20 20 & 20

Resposta

(a) 20 & 20 [3pt] 20 & 20]

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