(ITA-SP) Sejam ABCD um quadrado e E um ponto sobre AB. Considere as áreas do quadrado ABCD , do trapézio BEDC e do triângulo ADE. Sabendo que estas áreas definem, na ordem em que estão apresentadas, uma progressão aritmética cuja soma é 200 cm^2, a medida do segmento AE, em cm , é igual a
a) 103
b) 5
c) 203
d) 253
e) 10

Passo 1

O enunciado descreve um quadrado de lado e um ponto sobre o lado de forma que . As áreas do quadrado , do trapézio e do triângulo , nessa ordem, formam uma progressão aritmética (PA) e somam . Nosso objetivo é achar .

Passo 2

Vamos escrever cada área em função de A1 = área do quadrado = s^2, e A2 = área do trapézio BEDC = (BE + DC)cdot a:
A3 = área do triângulo ADE = AEcdot aá
áé
áâ

Passo 3

Como A2 = A1 + A32 está em PA, vale
s(2s - x)2 = s^2 + tfracx s22 ;Longrightarrow; 2s(2s - x) = 2s^2 + s x ;Longrightarrow; 4s^2 - 2s x = 2s^2 + s x ;Longrightarrow; 2s^2 = 3s x ;Longrightarrow; x = 2s3
Substituindo:

Passo 4

A soma das áreas é
A1 + A2 + A3 = s^2 + s(2s - x)2 + x,s2 = 200
Substituindo A2 = sl(2s - tfrac2s3r)2 = scdot tfrac4s32 = tfrac2s^23, A3 = tfrac2s3,s2 = tfracs^23 no segundo e terceiro termos:
s^2 + 2s^23 + s^23 = s^2 + s^2 = 2s^2 = 200 ;Longrightarrow; s^2 = 100 ;Longrightarrow; s = 10
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Passo 5

Finalmente,
x = 2s3 = 2cdot 103 = 203

Resposta