(ITA-SP) Sejam ABCD um quadrado e E um ponto sobre . Considere as áreas do quadrado ABCD , do trapézio BEDC e do triângulo ADE. Sabendo que estas áreas definem, na ordem em que estão apresentadas, uma progressão aritmética cuja soma é 200 cm^2, a medida do segmento AE, em cm , é igual a
a) 103
b) 5
c) 203
d) 253
e) 10
Passo 1
O enunciado descreve um quadrado ABCD de lado s e um ponto E sobre o lado AB de forma que AE=x. As áreas do quadrado ABCD, do trapézio BEDC e do triângulo ADE, nessa ordem, formam uma progressão aritmética (PA) e somam 200:cm^2. Nosso objetivo é achar x.
Passo 2
Vamos escrever cada área em função de s e x:
A1 = área do quadrado = s^2, á
A2 = área do trapézio BEDC = (BE + DC)cdot a<ura2 = (s - x + s),s2 = s,(2s - x)2, áé
A3 = área do triângulo ADE = AEcdot a<ura2 = x,s2 áâ
Passo 3
Como (A1,A2,A3) está em PA, vale
A2 = A1 + A32
Substituindo:
s(2s - x)2 = s^2 + tfracx s22 ;Longrightarrow; 2s(2s - x) = 2s^2 + s x ;Longrightarrow; 4s^2 - 2s x = 2s^2 + s x ;Longrightarrow; 2s^2 = 3s x ;Longrightarrow; x = 2s3
Passo 4
A soma das áreas é
A1 + A2 + A3 = s^2 + s(2s - x)2 + x,s2 = 200
Substituindo x=tfrac2s3 no segundo e terceiro termos:
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo Questões de vestibulares.Questões de vestibulares - Ex. 38