(ITA-SP) Sejam ABCD um quadrado e E um ponto sobre AB. Considere as áreas do quadrado ABCD , do trapézio BEDC e do triângulo ADE. Sabendo que estas áreas definem, na ordem em que estão apresentadas, uma progressão aritmética cuja soma é 200 cm^2, a medida do segmento AE, em cm , é igual a
a) 103
b) 5
c) 203
d) 253
e) 10

Passo 1

O enunciado descreve um quadrado ABCD de lado s e um ponto E sobre o lado AB de forma que AE=x. As áreas do quadrado ABCD, do trapézio BEDC e do triângulo ADE, nessa ordem, formam uma progressão aritmética (PA) e somam 200:cm^2. Nosso objetivo é achar x.

Passo 2

Vamos escrever cada área em função de s e x:
A1 = área do quadrado = s^2, á
A2 = área do trapézio BEDC = (BE + DC)cdot a<ura2 = (s - x + s),s2 = s,(2s - x)2, áé
A3 = área do triângulo ADE = AEcdot a<ura2 = x,s2 áâ

Passo 3

Como (A1,A2,A3) está em PA, vale
A2 = A1 + A32
Substituindo:
s(2s - x)2 = s^2 + tfracx s22 ;Longrightarrow; 2s(2s - x) = 2s^2 + s x ;Longrightarrow; 4s^2 - 2s x = 2s^2 + s x ;Longrightarrow; 2s^2 = 3s x ;Longrightarrow; x = 2s3

Passo 4

A soma das áreas é
A1 + A2 + A3 = s^2 + s(2s - x)2 + x,s2 = 200
Substituindo x=tfrac2s3 no segundo e terceiro termos:
A2 = sl(2s - tfrac2s3r)2 = scdot tfrac4s32 = tfrac2s^23, A3 = tfrac2s3,s2 = tfracs^23
Logo
s^2 + 2s^23 + s^23 = s^2 + s^2 = 2s^2 = 200 ;Longrightarrow; s^2 = 100 ;Longrightarrow; s = 10

Passo 5

Finalmente,
x = 2s3 = 2cdot 103 = 203

Resposta

203

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