(ITA-SP) Considere o quadrado ABCD com lados de 10 m de comprimento. Seja M um ponto sobre o lado AB e N um ponto sobre o lado AD, equidistantes de A. Por M traça-se uma reta r paralela ao lado A D, e por N uma reta s paralela ao lado AB, que se interceptam no ponto 0 . Considere os quadrados AMON e OPCQ, onde P é a intersecção de s com o lado BC e Q é a intersecção de r com o lado DC. Sabendo-se que as áreas dos quadrados AMON, OPCQ e ABCD constituem, nesta ordem, uma progressão geométrica, então a distância entre os pontos A e M é igual, em metros, a
a) 15+5 raiz5
b) 10+5 raiz5
c) 10-raiz5
d) 15-5 raiz5
e) 10-3 raiz5

Passo 1

O enunciado descreve um quadrado ABCD de lado 10 m. Em AB escolhemos M e em AD escolhemos N tais que AM=AN. Traçando por M uma reta r paralela a AD e por N uma reta s paralela a AB, elas se cruzam em O. Os quadrados AMON e OPCQ têm, respectivamente, lados AM e PC, e o quadrado maior ABCD tem lado 10. Sabendo que as áreas de AMON, OPCQ e ABCD, nessa ordem, formam uma progressão geométrica, queremos determinar AM.

Passo 2

Seja x=AM=AN.
Então o quadrado AMON tem lado x e área
A1 = x^2
Como P é a interseção de s com BC, temos P=(10,x) e O=(x,x), logo OP = 10 - x. Do mesmo modo OQ = 10 - x. Assim o quadrado OPCQ tem lado 10 - x e área
A2 = (10 - x)^2
O quadrado ABCD tem área
A3 = 10^2 = 100

Passo 3

Para três termos A1,A2,A3 estarem em progressão geométrica, basta que
A2^2 = A1,A3
Aqui isso dá
l((10 - x)^2r)^2 = x^2 cdot 100 Longrightarrow (10 - x)^4 = 100,x^2

Passo 4

Extraímos a raiz quadrada (descartando sinal negativo que não é compatível com x>0):
(10 - x)^2 = 10,x
Expandindo e reorganizando:
100 - 20x + x^2 = 10x Longrightarrow x^2 - 30x + 100 = 0
Resolvendo a equação de segundo grau:
x = 30 pm raiz30^2 - 4cdot1cdot1002 = 30 pm raiz5002 = 15 pm 5raiz5

Passo 5

Como x=AM deve estar entre 0 e 10, rejeitamos 15 + 5raiz5 e aceitamos
x = 15 - 5raiz5

Resposta

15 - 5raiz5 (alternativa d) )

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