(UE-CE) No retângulo PQRS as medidas dos lados PQ e PS são, respectivamente, 15 m e 10 m . Pelo ponto médio, F, do lado PS traça-se o segmento FR dividindo o retângulo em duas partes. Se E é o ponto do lado PQ tal que a medida do segmento EQ é 5 m , traça-se por E uma perpendicular a FR determinando o ponto G em FR. Nestas condições, a medida da área, em metros quadrados, do quadrilátero PFGE é:
a) 50,25
b) 53,25
c) 56,25
d) 59,25

Passo 1

O enunciado descreve um retângulo PQRS com PQ=15 m e PS=10 m. F é o ponto médio de PS, e E é ponto em PQ com EQ=5 m. Traça-se FR e, a partir de E, a perpendicular a FR intercepta em G. Precisamos achar a área do quadrilátero PFGE. Vamos usar geometria analítica: atribuir um sistema de coordenadas, projetar ponto em reta e calcular área via fórmula do polígono (shoelace).

Passo 2

Escolhemos
P=(0,0), Q=(15,0), S=(0,10), R=(15,10)
Então F, ponto médio de PS, é
F=l(0,tfrac102r)=(0,5),
e E, em PQ com EQ=5, fica
E=(15-5,,0)=(10,0)

Passo 3

O vetor diretor de FR é
FR=R-F=(15,10)-(0,5)=(15,5)
Para projetar E em FR, consideramos FE=(10,-5) e calculamos
t=FEcdotFR|FR|^2 =10cdot15+(-5)cdot515^2+5^2 =125250 =tfrac12
Logo as coordenadas de G são
xG=0+tfrac12cdot15=7,5, yG=5+tfrac12cdot5=7,5

Passo 4

Aplicamos a fórmula do shoelace nos vértices P(0,0), F(0,5), G(7,5,7,5) e E(10,0). Calculamos
sum xi yi+1 =0cdot5 + 0cdot7,5 + 7,5cdot0 + 10cdot0 = 0,
sum yi xi+1 =0cdot0 + 5cdot7,5 + 7,5cdot10 + 0cdot0 = 37,5 + 75 = 112,5
Portanto
Área = 12l|0 - 112,5r| =56,25 Á

Resposta

(c) 56,25

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