(ITA-68) Sejam a e b dois números reais quaisquer e p um número primo. A igualdade (a \pm b)^{\mathrm{p}}=a^{\mathrm{p}} \pm b^{\mathrm{p}} é verificada se:
a) a=b=1
b) a e b são primos entre si
c) b= P.A.
d) x \cdot p=0 para todo número real x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar em que situação, dadas quaisquer a,b\in\mathbb{R} e um primo p, vale simultaneamente
(a+b)^{p}=a^{p}+b^{p} \quad\text{e}\quad (a-b)^{p}=a^{p}-b^{p}.
O conteúdo necessário é o Teorema Binomial e o conceito de característica de um anel.

Passo 2

Pelo Teorema Binomial em um anel geral, para mais temos
(a+b)^{p} =\sum_{k=0}^{p}\binom{p}{k}a^{\,p-k}b^{\,k} =a^{p}+b^{p}+\sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}a^{\,p-k}b^{\,k}.

Passo 3

Para que (a+b)^{p}=a^{p}+b^{p} para todos a,b, é necessário e suficiente que cada termo
\displaystyle\binom{p}{k}a^{\,p-k}b^{\,k} com 1\le k\le p-1 seja sempre zero.

Passo 4

Como p é primo, \binom{p}{k}=\dfrac{p!}{k!(p-k)!} é múltiplo de p quando 1\le k\le p-1. Logo
\binom{p}{k}a^{\,p-k}b^{\,k} = p\cdot\bigl(m_k\,a^{\,p-k}b^{\,k}\bigr)
para algum inteiro m_k. Para que isso seja zero para todos a,b, é preciso que
p\cdot x = 0 \quad\text{para todo elemento }x
no anel em que a,b vivem. Esse é exatamente o caso de um anel de característica p.

Passo 5

O mesmo argumento vale para (a-b)^{p}=a^{p}-b^{p}. Portanto, a única maneira de ter ambas as identidades para quaisquer a,b é trabalhar em um anel onde
p\cdot x = 0 \quad\forall\,x.

Resposta

d) x\cdot p = 0 para todo número real x.

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