(ITA-68) Sejam
e
dois números reais quaisquer e p um número primo. A igualdade
é verificada se:
a)
b)
e
são primos entre si
c)
P.A.
d)
para todo número real
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar em que situação, dadas quaisquer
e um primo
, vale simultaneamente
O conteúdo necessário é o Teorema Binomial e o conceito de característica de um anel.
Passo 2
Pelo Teorema Binomial em um anel geral, para mais temos
Passo 3
Para que
para todos
, é necessário e suficiente que cada termo
com
seja sempre zero.
Passo 4
Como
é primo,
é múltiplo de
quando
. Logo
para algum inteiro
. Para que isso seja zero para todos
, é preciso que
no anel em que
vivem. Esse é exatamente o caso de um anel de característica
.
Passo 5
O mesmo argumento vale para
. Portanto, a única maneira de ter ambas as identidades para quaisquer
é trabalhar em um anel onde
Resposta
d)
para todo número real
.