(UECE-18) Quando a expressão algébrica \mathrm{E}=(1+\mathrm{x})+(1+\mathrm{x})^{2}+(1+\mathrm{x})^{3} +(1+x)^{4}+\ldots+(1+x)^{18} é apresentada na forma E=a_{0} x^{18}+a_{1} x^{17}+a_{2} x^{16}+\ldots+ \mathrm{a}_{17} \mathrm{x}+\mathrm{a}_{18}, \mathrm{o} valor do coeficiente do termo do primeiro grau, isto é, aı, é igual a
A) 170 .
B) 172 .
C) 171 .
D) 169 .

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente do termo de primeiro grau de
E = (1+x)+(1+x)^{2}+(1+x)^{3}+\cdots+(1+x)^{18}.
O conteúdo é expansão binomial e somatório de termos.

Passo 2

Sabemos pela fórmula do binômio que, em
(1+x)^{k} = \sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}x^{i},
o coeficiente de x (termo de grau 1) é \binom{k}{1} = k.

Passo 3

Portanto, o coeficiente de x em
\sum_{k=1}^{18}(1+x)^{k}
é a soma dos coeficientes de cada parcela, isto é
\sum_{k=1}^{18}k.

Passo 4

Calculamos o somatório dos inteiros de 1 a 18:
\sum_{k=1}^{18}k = \frac{18\cdot19}{2} = 171.

Resposta

171

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