(Unifor-05) A soma
\binom{n}{0}+\binom{n}{1} 3+\binom{n}{2} 3^{2}+\ldots+\binom{n}{n-1} 3^{n-1}+\binom{n}{n} 3^{n} é igual a
a) n^{n}
b) 4 . n !
c) 2^{n}
d) 3^{n}
e) 2^{2 n}

Passo 1

O enunciado pede a soma
S = \binom{n}{0} + \binom{n}{1}3 + \binom{n}{2}3^2 + \cdots + \binom{n}{n}3^n,
que é um caso clássico de Teorema Binomial; vamos usar esse teorema para resolver.

Passo 2

O Teorema Binomial afirma que, para quaisquer números a e b e inteiro n\ge0, vale
(a+b)^n \;=\; \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{\,n-k}b^k.

Passo 3

Basta escolher a=1 e b=3. Então
\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}1^{\,n-k}3^k \;=\;(1+3)^n \;=\;4^n.
Como 1^{n-k}=1, essa soma é exatamente S.

Passo 4

Comparando com as opções, 4^n pode ser reescrito como
4^n = (2^2)^n = 2^{2n},
o que corresponde à alternativa (e).

Resposta

e) 2^{2n}

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