(ITA-69) Sejam X=\left[\begin{array}{ll}x_{11} & x_{12} \\\ x_{21} & x_{22}\end{array}\right] e Y=\left[\begin{array}{ll}y_{11} & y_{12} \\\ y_{21} & y_{22}\end{array}\right] matrizes quadradas 2 \times 2.
Uma das afirmações abaixo é verdadeira, assinale-a.
a) X . X=\left[\begin{array}{ll}x_{11}^{2} & x_{12}^{2} \\\ x_{21}^{2} & x_{22}^{2}\end{array}\right]
b) \operatorname{det}(\alpha . X)=\alpha \cdot \operatorname{det} X
c) \operatorname{det}(X+Y)=\operatorname{det} X+\operatorname{det} Y
d) \operatorname{det}(\alpha X)=\alpha^{2} \cdot \operatorname{det} X
e) \operatorname{det}(X . Y)=\operatorname{det} X+\operatorname{det} Y

Passo 1

O enunciado apresenta duas matrizes quadradas 2\times2,
X=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}, \quad Y=\begin{pmatrix}y_{11}&y_{12}\y_{21}&y_{22}\end{pmatrix},
e pede para identificar qual das afirmações sobre produto de matrizes e determinantes é verdadeira. Vamos usar as propriedades de multiplicação de matrizes e as propriedades do determinante em dimensão 2.

Passo 2

Analisando a) “ X\cdot X = \begin{pmatrix}x_{11}^2 & x_{12}^2 \\\ x_{21}^2 & x_{22}^2\end{pmatrix}”:
Pelo produto de matrizes, o elemento (1,1) de X\cdot X é
(x_{11}^2 + x_{12}x_{21}),
e não simplesmente x_{11}^2. Logo a afirmação a) é falsa.

Passo 3

Analisando b) e d), usamos a propriedade de determinante sob multiplicação por escalar em dimensão n:
\det(\alpha X)=\alpha^n\,\det(X).
Aqui n=2, pois X é 2\times2. Logo
\det(\alpha X)=\alpha^2\det(X).
Isto confirma que a opção d) é verdadeira e a opção b), que diria \det(\alpha X)=\alpha\det(X), é falsa.

Passo 4

Analisando c): em geral a função determinante não é aditiva, ou seja,
\det(X+Y)\neq \det(X)+\det(Y)
para matrizes 2\times2. Portanto c) é falsa.

Passo 5

Analisando e): a propriedade correta para produto de matrizes é
\det(XY)=\det(X)\,\det(Y),
e não soma de determinantes. Assim e) é falsa.

Resposta

d) \det(\alpha X)=\alpha^{2}\cdot\det X é a afirmação verdadeira.
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