(FGV-19) Sejam A el matrizes quadradas de mesma ordem em que a segunda é a matriz identidade. Os autovalores da matriz A são as raízes do polinômio na variável \mathrm{x}, \operatorname{det}(\mathrm{A}-\mathrm{x} . \mathrm{I}), em que \operatorname{det}(A-x . I) é o determinante da matriz A - x.I. Os autovalores da matriz
\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 4 & 3\end{array}\right] tem por soma e produto, respectivamente:
a) 5 e 2
b) 3 e 4
c) 4 e 3
d) 2 e 5
e) le 6

Passo 1

O enunciado pede a soma e o produto dos autovalores de
A = \begin{pmatrix}2 & 1 \\[3pt] 4 & 3\end{pmatrix}.
Para uma matriz 2\times2 com autovalores \lambda_1 e \lambda_2, vale
  • soma \;\lambda_1+\lambda_2 = \operatorname{tr}(A),
  • produto \;\lambda_1\lambda_2 = \det(A).]

Passo 2

Calcular a soma dos autovalores pela traço de A:
\operatorname{tr}(A) = A_{11} + A_{22} = 2 + 3 = 5.

Passo 3

Calcular o produto dos autovalores pelo determinante de A:
\det(A) = (2)(3) - (1)(4) = 6 - 4 = 2.

Passo 4

Logo, a soma dos autovalores é 5 e o produto é 2, correspondendo à alternativa (a).

Resposta

a) 5 e 2
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