(EPCAr-05) Sejam A, B, C matrizes reais não-nulas de ordem 2. satisfazendo às seguintes relações:
  1. A B=C^{-1}, em que C^{-1} é a inversa de C 2) \mathrm{B}=\frac{1}{2} \mathrm{~A}
Se o determinante de C é 16 , então o valor do módulo do determinante de A é igual a
a) \frac{1}{2}
b) \frac{\sqrt{2}}{2}
c) \frac{1}{8}
d) \frac{\sqrt{2}}{4}

Passo 1

O enunciado dá três matrizes reais 2\times2 não-nulas A, B e C tais que
  1. AB=C^{-1}, onde C^{-1} é a inversa de C.
  2. B=\tfrac12 A.
    Além disso, sabe-se que \det C=16. Queremos encontrar \bigl|\det A\bigr|.

Passo 2

Como B=\tfrac12A, substituímos em AB=C^{-1}:
AB = A\bigl(\tfrac12A\bigr) = \tfrac12\,A^2 = C^{-1}.
Multiplicando ambos os lados por 2, obtemos
A^2 = 2\,C^{-1}.

Passo 3

Agora aplicamos determinante em ambos os lados. Lembrando que para matrizes 2\times2 vale \det(A^2)=(\det A)^2 e \det(kM)=k^2\det M:
\det(A^2) = \det\bigl(2\,C^{-1}\bigr).

Passo 4

Calculamos cada lado:
\det(A^2) = (\det A)^2,
\det\bigl(2\,C^{-1}\bigr) = 2^2\det(C^{-1}) = 4\cdot\frac1{\det C} = \frac4{16} = \frac14.
Logo
(\det A)^2 = \frac14.

Passo 5

Extraindo a raiz quadrada e tomando módulo,
\bigl|\det A\bigr| = \frac12.

Resposta

(a)
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