(Escola Naval-18) Dadas as matrizes A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & -1 & 1\end{array}\right], x=\left[\begin{array}{lll}2 & 13 & 65\end{array}\right] e B=\mathrm{x}^{\mathrm{T}} . \mathrm{x}. Qual é o valor do determinante de 2. A^{-1} \cdot B^{2} ?
a) 0
b) 4
c) 8
d) 3380
e) 13520
ou seja, B é uma matriz 3\times3 de posto 1. Pede-se \det\bigl(2\,A^{-1}\,B^{2}\bigr). Vamos usar propriedades de posto e de determinante de produto e de múltiplo escalar.
Passo 2
Como
B = x^{\mathrm{T}}\,x = u\,v,
em que u=x^{\mathrm{T}} (dimensão 3\times1) e v=x (dimensão 1\times3), tem-se \mathrm{posto}(B)=1<3. Logo B é singular e
\det(B)=0.
Passo 3
Da propriedade \det(B^{2})=\det(B)^{2} segue imediatamente