(Escola Naval-18) Dadas as matrizes A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & -1 & 1\end{array}\right], x=\left[\begin{array}{lll}2 & 13 & 65\end{array}\right] e B= \mathrm{x}^{\mathrm{T}} . \mathrm{x}. Qual é o valor do determinante de 2. A^{-1} \cdot B^{2} ?
a) 0
b) 4
c) 8
d) 3380
e) 13520

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & -1 & 1\end{pmatrix},
o vetor linha
x = \bigl[2\;\;13\;\;65\bigr]
e define
B = x^{\mathrm{T}}\,x,
ou seja, B é uma matriz 3\times3 de posto 1. Pede-se \det\bigl(2\,A^{-1}\,B^{2}\bigr). Vamos usar propriedades de posto e de determinante de produto e de múltiplo escalar.

Passo 2

Como
B = x^{\mathrm{T}}\,x = u\,v,
em que u=x^{\mathrm{T}} (dimensão 3\times1) e v=x (dimensão 1\times3), tem-se \mathrm{posto}(B)=1<3. Logo B é singular e
\det(B)=0.

Passo 3

Da propriedade \det(B^{2})=\det(B)^{2} segue imediatamente
\det(B^{2})=0^{2}=0.

Passo 4

Usando que para matrizes 3\times3 vale
\det\bigl(2\,A^{-1}\,B^{2}\bigr) =\det(2I)\,\det(A^{-1})\,\det(B^{2}) =2^{3}\,\det(A^{-1})\cdot 0 =0,
concluímos que o determinante pedido é zero.

Resposta

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