(EsPCEx-93) Sejam A, B e C matrizes reais 3 \times 3 que satisfazem às seguintes condições: A . B=C^{-}'; B= (1/2)A. Se o determinante de C é 1 / 32, então o valor do módulo do determinante de A é:
a) 1 / 8
b) 1 / 4
c) 8
d) 16

Passo 1

O enunciado trata de matrizes reais 3\times3 e envolve determinantes e operações com inversa. Temos as relações
A\cdot B = C^{-1} e B = \tfrac12 A, além de \det\text{(C)}=\tfrac1{32}. Para resolver, vamos substituir B em A\cdot B, usar propriedades de determinante e calcular \det(A).

Passo 2

Substituindo B=\tfrac12 A na equação A\cdot B = C^{-1}, obtemos
A\cdot B = A\cdot\Bigl(\tfrac12 A\Bigr) = \tfrac12 A^2.

Passo 3

Da igualdade \tfrac12 A^2 = C^{-1} segue
A^2 = 2\,C^{-1}.

Passo 4

Aplicando determinante em ambos os lados, usa-se \det(A^2)=\det(A)^2 e \det(kM)=k^3\det(M) para 3\times3:
\det(A)^2 = \det(2\,C^{-1}) = 2^3\,\det(C^{-1}) = 8\;\frac1{\det\text{(C)}}.

Passo 5

Como \det\text{(C)}=\tfrac1{32}, tem-se \det(C^{-1})=32. Logo
\det(A)^2 = 8\cdot 32 = 256 \quad\Longrightarrow\quad |\det(A)| = 16.

Resposta

d) 16
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