(ITA-18) Sejam a e b números inteiros positivos. Se a e b são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão geométrica de razão 1 / 2 e o termo independente de \left(a x-\frac{b}{\sqrt{x}}\right)^{12} é igual a 7920, então a + b é
A() 2. \quad \mathrm{B}() 3 . \quad \mathrm{C}() 4.

Passo 1

O enunciado diz que a e b são inteiros positivos e, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão geométrica de razão 1/2. Pede-se o valor de a+b, sabendo que o termo independente de x na expansão de \bigl(a x - \tfrac b{\sqrt{x}}\bigr)^{12} é 7920. Para resolver, vamos usar a fórmula do termo geral na expansão binomial e a condição de que o expoente de x seja zero.

Passo 2

Como a e b são termos consecutivos de razão 1/2, temos
b = a \cdot \frac12.

Passo 3

Na expansão de \bigl(a x - b x^{-1/2}\bigr)^{12}, o termo de índice k é
T_k = \binom{12}{k}\,(a x)^{12-k}\,\bigl(-b x^{-1/2}\bigr)^{k} =\binom{12}{k}\,a^{12-k}(-b)^{k}\,x^{(12-k)-\tfrac k2}.
Para que esse termo seja independente de x, o expoente deve ser zero:
(12-k) - \frac{k}{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{24 - 2k - k}{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3k = 24 \quad\Longrightarrow\quad k = 8.

Passo 4

Para k = 8, o termo independente vale
T_8 = \binom{12}{8}\,a^{12-8}(-b)^{8} = \binom{12}{8}\,a^{4}b^{8} = 495\,a^{4}b^{8}.
Como esse valor é dado como 7920, obtemos
495\,a^{4}b^{8} = 7920 \quad\Longrightarrow\quad a^{4}b^{8} = \frac{7920}{495} = 16.

Passo 5

Substituindo b = a/2 em a^{4}b^{8} = 16:
a^{4}\Bigl(\frac{a}{2}\Bigr)^{8} = a^{4}\,\frac{a^{8}}{2^{8}} = \frac{a^{12}}{2^{8}} = 16 \quad\Longrightarrow\quad a^{12} = 16\cdot 2^{8} = 2^{4}\cdot 2^{8} = 2^{12} \quad\Longrightarrow\quad a = 2.
Logo b = a/2 = 1 e
a + b = 2 + 1 = 3.

Resposta

3

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