(ITA-73) O coeficiente de a^{n+1-p b}{ }^{p} no producto de:
a^{k}+\binom{k}{1} a^{k-1} b+\ldots+\binom{k}{p} a^{k-p} b^{p}+\ldots+b^{k} por (a+b), se k=n, vale:
a) \binom{n}{p}
b) \binom{n+1}{p}
c) \binom{n-1}{p}
d) \binom{n+1}{p+1}

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
a^{n}+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\cdots+\binom{n}{p}a^{n-p}b^{p}+\cdots+b^{n}
que, pelo Teorema Binomial, é exatamente (a+b)^{n}. Queremos o coeficiente de a^{n+1-p}b^{p} no produto desse polinômio por (a+b).

Passo 2

Ao multiplicar (a+b)^{n} por (a+b) obtemos
(a+b)^{n+1}.

Passo 3

No desenvolvimento de (a+b)^{n+1}, o termo geral é
\binom{n+1}{j}\,a^{(n+1)-j}b^{j}.
Para j=p ele é \binom{n+1}{p}\,a^{n+1-p}b^{p}. Logo, o coeficiente buscado é \binom{n+1}{p}.

Resposta

(b)

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