(ITA-89) O sistema de equações:
\begin{gathered} x+3 y-z=6 \\\\ 7 x+3 y+2 z=6 \\\\ 5 x-3 y+4 z=10 \end{gathered}
a) tem somente uma solução.
b) tem infinitas soluções com 9(x+y)= 14 e 9(2 x-z)=40.
c) rem infinitas soluções \operatorname{com} 9(x-y)= 34 e 9(2 x-z)=20.
d) tern infinitas soluções com x dado em função de y e z.
e) năo possui solução.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de três equações lineares em três incógnitas:
\begin{cases} x+3y-z=6,\\\\ 7x+3y+2z=6,\\\\ 5x-3y+4z=10. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares, e vamos precisar usar eliminação de Gauss (ou Cramer) para verificar se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou é incompatível.

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & -1\\\\ 7 & 3 & 2\\\\ 5 & -3 & 4 \end{pmatrix}.
Usando a regra de Sarrus (ou expansão por cofatores):
\det(A) =1\cdot(3\cdot4-2\cdot(-3)) -3\cdot(7\cdot4-2\cdot5) +(-1)\cdot(7\cdot(-3)-3\cdot5) =18-54+36=0.
Como \det(A)=0, o sistema não tem solução única — ou é impossível, ou tem infinitas soluções.

Passo 3

Vamos eliminar z entre a primeira e a segunda equação. Da primeira equação,
z=x+3y-6.
Substituindo na segunda equação:
7x+3y+2(x+3y-6)=6 \quad\Longrightarrow\quad 9x+9y-12=6 \quad\Longrightarrow\quad 9(x+y)=18.

Passo 4

Agora conferimos compatibilidade com a terceira equação. Substituindo z=x+3y-6 na terceira:
5x-3y+4(x+3y-6)=10 \quad\Longrightarrow\quad 9x+9y-24=10 \quad\Longrightarrow\quad 9(x+y)=34.
Obtivemos simultaneamente 9(x+y)=18 e 9(x+y)=34, o que é contraditório.

Resposta

e) não possui solução.

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