Seja \left\{\begin{array}{l}\lambda . x+y=0 \\\ x+\lambda . y+z=0 \\\ y+\lambda . z=0\end{array}\right.
O sistema acima terá solução não trivial para certo conjunto de valores de \lambda. Para que isto se verifique este conjunto é constituido:
a) apenas por números complexos nào reais
b) apenas por números reais
c) apenas por números racionais
d) apenas por números irracionais
e) apenas por números inteiros

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo de três equações lineares em três incógnitas que depende do parâmetro \lambda. O conteúdo é Álgebra Linear: em um sistema homogêneo não trivial só existe se o determinante da matriz de coeficientes for zero.

Passo 2

Construímos a matriz de coeficientes A:
A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0\\\\ 1 & \lambda & 1\\\\ 0 & 1 & \lambda \end{pmatrix}
A condição para haver solução não trivial é
\det(A)=0.

Passo 3

Calculamos \det(A) expandindo pela primeira linha:
\det(A) = \lambda\cdot\det\!\begin{pmatrix}\lambda & 1\\\ 1 & \lambda\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & \lambda\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots)
\det(A) = \lambda(\lambda^2 - 1) - (1\cdot \lambda - 1\cdot 0) = \lambda^3 - \lambda - \lambda = \lambda^3 - 2\lambda = \lambda(\lambda^2 - 2).

Passo 4

Impondo \det(A)=0 vem
\lambda(\lambda^2 - 2)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=0,\;\lambda=\sqrt{2},\;\lambda=-\sqrt{2}.
Esses três valores são todos números reais (incluem 0 e \pm\sqrt{2}).

Resposta

b) apenas por números reais

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