(IME-81 CG) Determine a e b para que o sistema \left\{\begin{array}{l}x+2 y+a z=b \\\\ 2 x-y+3 z=3 \\\\ 3 x+y+z=4\end{array}\right.
a) tenha solução única;
b) tenha um n^{0} infinito de soluções;
c) não tenha solução.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x + 2y + a z = b,\\\\ 2x - y + 3z = 3,\\\\ 3x + y + z = 4 \end{cases}
e pede os valores de a e b para que o sistema tenha solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. O conteúdo usado será álgebra linear: determinante da matriz dos coeficientes (Cramer) e análise de dependência linear (posto da matriz aumentada).

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz dos coeficientes
D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & a\\\\ 2 & -1 & 3\\\\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
D = 1\cdot\bigl((-1)\cdot1 - 3\cdot1\bigr) -2\cdot\bigl(2\cdot1 - 3\cdot3\bigr) + a\cdot\bigl(2\cdot1 - (-1)\cdot3\bigr).
Isso dá
D = 1\cdot(-1 - 3) -2\cdot(2 - 9) + a\cdot(2 + 3) = -4 -2\cdot(-7) +5a = -4 +14 +5a = 5(a+2).

Passo 3

Se D\neq0, ou seja,
a \neq -2,
o sistema é compatível determinado e tem solução única para qualquer valor de b.

Passo 4

Se
a = -2,
então D=0\) e as três equações são linearmente dependentes. Observando as duas primeiras equações com \(a=-2\), temos \[\begin{cases} x + 2y -2z = b,\\\\ 2x - y +3z = 3, \end{cases}
e a terceira se torna
3x + y + z = 4.
Note que a terceira é exatamente a soma da primeira com a segunda se, e somente se, os termos independentes também se somarem corretamente:
b + 3 = 4 \;\Longrightarrow\; b = 1.
  • Se b = 1\], o posto da matriz aumentada também é 2, logo há **infinitas soluções**. - Se \(b \neq 1, o posto da matriz aumentada seria 3 enquanto o da matriz de coeficientes é 2, resultando em sistema impossível.

Resposta

a) Solução única se a \neq -2 (para todo b).
b) Infinitas soluções se a = -2 e b = 1.
c) Nenhuma solução se a = -2 e b \neq 1.

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