(IME-81 CG) Determine a e b para que o sistema \left\{\begin{array}{l}x+2 y+a z=b \\\\ 2 x-y+3 z=3 \\\\ 3 x+y+z=4\end{array}\right.
a) tenha solução única;
b) tenha um n^{0} infinito de soluções;
c) não tenha solução.
Passo 1
O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x + 2y + a z = b,\\\\ 2x - y + 3z = 3,\\\\ 3x + y + z = 4 \end{cases}
e pede os valores de a e b para que o sistema tenha solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. O conteúdo usado será álgebra linear: determinante da matriz dos coeficientes (Cramer) e análise de dependência linear (posto da matriz aumentada).
Passo 2
Calculemos o determinante da matriz dos coeficientes
o sistema é compatível determinado e tem solução única para qualquer valor de b.
Passo 4
Se
a = -2,
então D=0\) e as três equações são linearmente dependentes. Observando as duas primeiras equações com \(a=-2\), temos
\[\begin{cases} x + 2y -2z = b,\\\\ 2x - y +3z = 3, \end{cases}
e a terceira se torna
3x + y + z = 4.
Note que a terceira é exatamente a soma da primeira com a segunda se, e somente se, os termos independentes também se somarem corretamente:
b + 3 = 4 \;\Longrightarrow\; b = 1.
Se b = 1\], o posto da matriz aumentada também é 2, logo há **infinitas soluções**.
- Se \(b \neq 1, o posto da matriz aumentada seria 3 enquanto o da matriz de coeficientes é 2, resultando em sistema impossível.
Resposta
a) Solução única se a \neq -2 (para todo b).
b) Infinitas soluções se a = -2 e b = 1.
c) Nenhuma solução se a = -2 e b \neq 1.
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 3 - 3ª Edição - Capítulo 12.Exercícios - Ex. 29