(ITA-83) Scja a um númcro real tal que a \neq \pi / 2+k \pi, onde k \in Z. Se ( x_{u}, y_{u} ) é soluçăo do sistema
\left\{\begin{array}{l}(2 \operatorname{sec} a) x+(3 \tan a) y=2 \cos a \\\ (2 \tan a) x+(3 \operatorname{sec} a) y=0\end{array}\right. então podemos afirmar que:
a) x_{11}+y_{0}=3-2 \operatorname{sen} a
b) \left(\frac{2}{3} x_{0}\right)^{2}-y_{0}^{2}=\frac{4}{9} \cos ^{2} a+2
c) x_{0}-y_{0}=0
d) x_{11}+y_{11}=0
e) \left(\frac{2}{3} x_{11}\right)^{2}-y_{0}^{2}=\frac{4}{9} \cos ^{2} a

Passo 1

O enunciado dá um real a\) tal que \(a \neq \pi/2 + k\pi\) (para garantir \(\cos a\neq0\)) e pede para resolver o sistema em \(x\) e \(y\): \[\begin{cases} (2\operatorname{sec} a)\,x \;+\;(3\tan a)\,y = 2\cos a,\\\ (2\tan a)\,x \;+\;(3\operatorname{sec} a)\,y = 0. \end{cases}
Depois de achar (x,y)\] em função de \(a, devemos verificar qual das igualdades das opções é verdadeira de modo genérico.

Passo 2

Vamos usar a Regra de Cramer. Defina
S = \operatorname{sec} a,\quad T = \tan a,\quad C=\cos a.
O sistema fica
\begin{cases} 2S\,x + 3T\,y = 2C,\\\\ 2T\,x + 3S\,y = 0. \end{cases}
O determinante principal é
D = \begin{vmatrix} 2S & 3T\\\\ 2T & 3S \end{vmatrix} = (2S)(3S) - (3T)(2T) =6\bigl(S^2 - T^2\bigr).
Como \operatorname{sec}^2a - \tan^2a=1, segue D=6.

Passo 3

Para x, trocamos a primeira coluna pelo vetor dos termos independentes:
D_x = \begin{vmatrix} 2C & 3T\\\\ 0 & 3S \end{vmatrix} = (2C)(3S) - (3T)\cdot0 =6\,C\,S.
Logo
x = \frac{D_x}{D} = \frac{6\,C\,S}{6} = C\,S = \cos a\cdot\operatorname{sec} a =1.

Passo 4

Para y, trocamos a segunda coluna:
D_y = \begin{vmatrix} 2S & 2C\\\\ 2T & 0 \end{vmatrix} = (2S)\cdot0 - (2C)(2T) = -4\,C\,T = -4\cos a\tan a = -4\sin a.
Logo
y = \frac{D_y}{D} = \frac{-4\sin a}{6} = -\tfrac{2}{3}\sin a.

Passo 5

Agora testamos a opção (e), que afirma
\Bigl(\tfrac{2}{3}x\Bigr)^2 \;-\; y^2 \;=\;\tfrac{4}{9}\cos^2a.
Como x=1 e y=-\tfrac{2}{3}\sin a, temos
\Bigl(\tfrac{2}{3}\cdot1\Bigr)^2 \;-\;\Bigl(-\tfrac{2}{3}\sin a\Bigr)^2 = \tfrac{4}{9} \;-\;\tfrac{4}{9}\sin^2a = \tfrac{4}{9}\bigl(1-\sin^2a\bigr) = \tfrac{4}{9}\cos^2a,
que coincide exatamente com a igualdade proposta.

Resposta

e) \bigl(\tfrac{2}{3}x\bigr)^2 - y^2 = \tfrac{4}{9}\cos^2a.

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