(ITA-88) Sobre o sistema \left\{\begin{array}{l}8 x-y-2 z=0 \\\\ 7 x+y-3 z=0 . \text { Podemos afirmar que: } \\\ x-2 y+3 z=0\end{array}\right.
a) é possivel e determinado
b) é impossivel
c) é possivel e qualquer solução ( x, y, z ) è tal que os números x, y, z formam nesta ordem, uma progressão aritmética de razảo igual a x.
d) é possivel e qualquer soluçảo ( x, y, z ) é tal que y=(x+z) / 3
e) é possivel e qualquer solução ( x, y, z ) é tal que os números x, y, z formanı nesta ordem, uma progressào aritmética de razão igual a(x+y+z) / 3.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} 8x - y - 2z = 0,\\\\ 7x + y - 3z = 0,\\\ x - 2y + 3z = 0, \end{cases}
e pergunta se o sistema é possível e determinado, impossível ou sobredeterminado com alguma condição especial nas soluções. O conteúdo é Álgebra Linear básica (determinante e classificação de sistemas lineares).

Passo 2

Vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 8 & -1 & -2\\\\ 7 & 1 & -3\\\\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A) = 8\begin{vmatrix}1 & -3\\\\ -2 & 3\end{vmatrix} -(-1)\begin{vmatrix}7 & -3\\\\ 1 & 3\end{vmatrix} +(-2)\begin{vmatrix}7 & 1\\\\ 1 & -2\end{vmatrix}.
Calculando cada menor:
\begin{vmatrix}1 & -3\\\ -2 & 3\end{vmatrix} =1\cdot3 - (-3)(-2)=3-6=-3,
\begin{vmatrix}7 & -3\\\ 1 & 3\end{vmatrix} =7\cdot3 - (-3)\cdot1=21+3=24,
\begin{vmatrix}7 & 1\\\ 1 & -2\end{vmatrix} =7\cdot(-2)-1\cdot1=-14-1=-15.
Substituindo:
\det(A)=8\cdot(-3)+1\cdot24+(-2)\cdot(-15)=-24+24+30=30\neq0.

Passo 3

Como \det(A)\neq0, o sistema tem posto máximo e, portanto, é possível e tem solução única (determinado).

Resposta

(a) é possível e determinado.

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