(FGV-19) A respecito do sistema de equações lineares, nas incógnitas x e y, dado por \left\{\begin{array}{l}m x-3 y=4 \\\\ 4 x-5 y=7\end{array}\right., com m sendo um número real, é correto afirmar que
a) representa um ponto no plano apenas quando \mathrm{m}=0.
b) representa um par de retas concorrentes no plano quando m=12 / 5.
c) não apresenta solução para m=12 / 5.
d) apresenta infinitas soluções para m= 12/5.
e) é possivel e determinado para qualquer valor de m.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear nas incógnitas x\) e \(y\) dependente do parâmetro real \(m\): \[\begin{cases} m\,x - 3\,y = 4,\\\\ 4\,x - 5\,y = 7.
O conteúdo aqui é classificação de sistema (2\times 2] via determinantes (Regra de Cramer).

Passo 2

Formamos o determinante da matriz dos coeficientes:
D = \begin{vmatrix} m & -3 \\\\ -5 & 4 \end{vmatrix} = m \cdot (-5) - (-3) \cdot 4 = -5m + 12 = 12 - 5m.

Passo 3

Se D \neq 0, o sistema tem solução única (é possível e determinado). Logo
D \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 12 - 5m \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad m \neq \tfrac{12}{5}.

Passo 4

Quando m = \tfrac{12}{5} temos D=0 e então as retas podem ser coincidentes (infintas soluções) ou paralelas (sem solução). Para decidir, substituímos m=\tfrac{12}{5} na primeira equação:
\tfrac{12}{5}x - 3y = 4 \;\Longrightarrow\; 12x - 15y = 20 \quad(\text{multiplicando por }5).
A segunda, multiplicada por 3, dá
(4x -5y=7)\times3 \;\Longrightarrow\; 12x - 15y = 21.
Como 20 \neq 21, as duas retas são paralelas distintas e o sistema é inconsistente.

Resposta

c) não apresenta solução para m = \tfrac{12}{5}.

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