(ITA-69) A soma:
\binom{n}{1}+2\binom{n}{2}+3\binom{n}{3}+\ldots+n\binom{n}{n}
é igual a:
a) n \cdot 2^{n-1}
b) 2^{n}
c) n 2^{n}
d) (n+1) 2^{n+1}

Passo 1

O enunciado nos dá a soma
\sum_{k=1}^{n}k\binom{n}{k}
e pede para identificá-la entre as alternativas. O conteúdo é uso do Teorema Binomial e derivação de somatórios envolvendo coeficientes binomiais.

Passo 2

Começamos pelo Teorema Binomial:
(1+x)^{n} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}.
Derivando ambos os lados em relação a x, obtemos
\frac{d}{dx}(1+x)^{n} = n(1+x)^{n-1} \quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k} = \sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}x^{k-1}.
Logo,
n(1+x)^{n-1} = \sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}x^{k-1}.
Multiplicando ambos os lados por x, vem
nx(1+x)^{n-1} = \sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}x^{k}.

Passo 3

Basta agora tomar x=1. No lado esquerdo:
n\cdot1\cdot(1+1)^{n-1} = n\,2^{n-1}.
No lado direito surge
\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}, mas o termo k=0 é zero, então isso equivale exatamente à soma pedida.

Resposta

a) n\cdot2^{n-1}

Exercícios de Livros Relacionados