(UECE-19) O número inteiro n, maior que 3 , para o qual os números \binom{n}{1} , \binom{n}{2} e \binom{n}{3} estāo, nessa ordem, em progressão aritmética é
a) n=6
b) n=8
c) n=5
d) n=7

Passo 1

O enunciado pede o inteiro n>3 tal que os termos \binom{n}{1}, \binom{n}{2} e \binom{n}{3} formem, nessa ordem, uma progressão aritmética. Vamos usar a fórmula dos coeficientes binomiais e a condição de P.A.

Passo 2

Escrevendo cada termo em função de n:
\binom{n}{1} = n,\quad \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2},\quad \binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}.

Passo 3

Para termos uma P.A. vale
2\cdot \binom{n}{2} \;=\;\binom{n}{1} + \binom{n}{3}.
Substituindo:
2\cdot \frac{n(n-1)}{2} \;=\; n + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 6 e organizando:
6\,n(n-1) = 6n + n(n-1)(n-2) \quad\Longrightarrow\quad n(n-1)\bigl(8-n\bigr)=6n.
Como n\neq0, divide-se por n:
(n-1)(8-n)=6 \;\Longrightarrow\; -n^2+9n-8=6 \;\Longrightarrow\; n^2-9n+14=0.
As raízes são n=7 ou n=2, e como queremos n>3, fica n=7.

Resposta

d) n=7

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