(ITA-SP) Um triângulo ABC tem lados com medidas a=raiz32 cm, b=1 cm e c=12 cm. Uma circunferência é tangente ao lado a e também aos prolongamentos dos outros dois lados do triângulo, ou seja, a circunferência é ex-inscrita ao triângulo. Então, o raio da circunferência, em cm, é igual a
a) raiz3+14
b) raiz34
c) raiz3+13
d) raiz32

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC com lados
a = raiz32, b = 1, c = 12
e pede o raio da ex-circunferência tangente ao lado a e aos prolongamentos de b e c.
O que vamos usar:
– semiperímetro s = a+b+c2,
– área De<a pelo teorema de Heron,
– fórmula do ex-raio oposto a A:
rA = De<a,s - a,

Passo 2

Calcular o semiperímetro
s = a + b + c2 = raiz32 + 1 + 122 = raiz3+322 = raiz3+34

Passo 3

Calcular a área De<a usando Heron:
s - a = raiz3+34 - raiz32 = 3 - raiz34, s - b = raiz3-14, s - c = raiz3+14
Então
De<a = raizs,(s-a),(s-b),(s-c) = raizraiz3+34,3-raiz34,raiz3-14,raiz3+14 = raiz1216 = raiz38

Passo 4

Aplicar a fórmula do ex-raio oposto a A:
rA = De<a,s - a, = raiz383-raiz34 = raiz38cdot43-raiz3 = raiz3/23-raiz3
racionalizando:
rA = raiz32cdot3+raiz36 = 3raiz3+312 = raiz3+14

Resposta

(a) raiz3+14

Exercícios de Livros Relacionados