(ITA-SP) Numa circunferência
de raio
está inscrito um hexágono regular
; em
está inscrita uma circunferência
; em
está inscrito um hexágono regular
, e assim sucessivamente. Se
é a área do hexágono
, então
é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado descreve uma sequência em que, a partir de uma circunferência
de raio
, inscrevemos um hexágono regular
, depois inscrevemos numa circunferência
o polígono
, em
inscrevemos outro hexágono
, e assim por diante. O que queremos é
onde
é a área de
. Para isso, precisamos da fórmula da área de um hexágono regular em função do raio da circunferência circunscrita e da relação entre esse raio e o raio da circunferência inscrita (o apótema).
Passo 2
Seja
o raio da circunferência circunscrita de um hexágono regular. Cada lado vale
e o apótema (inradius) é
A área desse hexágono é
Passo 3
No caso de
, o raio circunscrito é
. Logo,
Passo 4
A circunferência inscrita em
(que é
) tem raio igual ao apótema de
, isto é
Como
é inscrito em
, o seu raio circunscrito é
. Por indução,
Passo 5
Substituindo em
, obtemos
Isto mostra que
é uma progressão geométrica de primeiro termo
e razão
.
Passo 6
A soma da série infinita de razão
é
Resposta
(b)