(ITA-SP) Numa circunferência C1 de raio r1=3 cm está inscrito um hexágono regular H1; em H1 está inscrita uma circunferência C2; em C2 está inscrito um hexágono regular H2, e assim sucessivamente. Se An(em cm^2) é a área do hexágono Hn, então Sigman=1^infty An(em cm^2) é igual a:
a) 54 raiz2
b) 54 raiz3
c) 36(1+raiz3)
d) 27(2-raiz3)
e) 30(2+raiz3)

Passo 1

O enunciado descreve uma sequência em que, a partir de uma circunferência C1 de raio r1=3, inscrevemos um hexágono regular H1, depois inscrevemos numa circunferência C2 o polígono H1, em C2 inscrevemos outro hexágono H2, e assim por diante. O que queremos é
sumn=1^inftyAn,
onde An é a área de Hn. Para isso, precisamos da fórmula da área de um hexágono regular em função do raio da circunferência circunscrita e da relação entre esse raio e o raio da circunferência inscrita (o apótema).

Passo 2

Seja R o raio da circunferência circunscrita de um hexágono regular. Cada lado vale
s = 2Rsinl(tfracpi6r) = R,
e o apótema (inradius) é
a = raiz32,s = raiz32,R
A área desse hexágono é
A = 6cdotraiz34,s^2 = 3raiz32,R^2

Passo 3

No caso de H1, o raio circunscrito é R1=r1=3. Logo,
A1 = 3raiz32,R1^2 = 3raiz32cdot 3^2 = 27raiz32

Passo 4

A circunferência inscrita em H1 (que é C2) tem raio igual ao apótema de H1, isto é
r2 = a1 = raiz32,R1
Como H2 é inscrito em C2, o seu raio circunscrito é R2=r2. Por indução,
Rn = R1l(raiz32r)^,n-1 = 3l(tfracraiz32r)^,n-1

Passo 5

Substituindo em A=tfrac3raiz32R^2, obtemos
An = 3raiz32,Rn^2 = 3raiz32,l[3(tfracraiz32)^n-1r]^2 = 27raiz32,l(34r)^n-1
Isto mostra que An é uma progressão geométrica de primeiro termo A1=tfrac27raiz32 e razão q=tfrac34.

Passo 6

A soma da série infinita de razão vert qvert<1 é
sumn=1^inftyAn = A11-q = tfrac27raiz321-tfrac34 = tfrac27raiz32tfrac14 = 54raiz3

Resposta

(b) 54raiz3

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