Resolva, em R, as equações:
raiz5+x+raiz5-x=12raiz5+x

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em R, a equação
raiz5+x + raiz5-x = 12raiz5+x
Aqui estamos no conteúdo de equações com radicais: primeiro vamos avaliar o domínio em que tudo faz sentido (radicais e denominador), depois isolar um radical, elevar ao quadrado e finalmente verificar as soluções encontradas.

Passo 2

Para os termos estarem definidos, precisamos ter
5 + x >= 0, 5 - x >= 0, raiz5+xneq0
Isto é,
x >= -5, x <= 5, x neq -5
ou seja
x in (-5,,5]

Passo 3

Como raiz5+x>0 em todo o domínio, multiplicamos a equação original por raiz5+x:
l(raiz5+x + raiz5-xr),raiz5+x = 12
Isso dá
5 + x + raiz(5+x)(5-x) = 12

Passo 4

Repare que
raiz(5+x)(5-x) = raiz25 - x^2
Assim
raiz25 - x^2 = 12 - (5 + x) = 7 - x
Note que 7 - x>=0 para todo x<=5, o que não exclui nada no nosso domínio.

Passo 5

Elevamos ao quadrado:
25 - x^2 = (7 - x)^2 = 49 - 14x + x^2
Reorganizando,
0 = 2x^2 - 14x + 24 Longrightarrow x^2 - 7x + 12 = 0
As raízes são
x = 3 ou x = 4

Passo 6

Verificamos no original e no domínio xin(-5,5]:
  • Para x=3: raiz8 + raiz2 = 2raiz2 + raiz2 = 3raiz2, 12raiz8 = 122raiz2 = 3raiz2
  • Para x=4: raiz9 + raiz1 = 3 + 1 = 4, 12raiz9 = 123 = 4
As duas satisfazem a equação e estão no domínio.

Resposta

As soluções são x = 3 e x = 4.

Exercícios de Livros Relacionados