Os lados de um triângulo medem 12 m, 20 m e 28 m . Determine a projeção do menor sobre a reta do lado de 20 m .

Passo 1

O triângulo dado tem lados de comprimentos a=12, b=20 e c=28. Queremos a projeção escalar do lado de comprimento a=12 sobre a reta que contém o lado de comprimento b=20. Para isso vamos usar o conceito de projeção escalar em geometria com a lei dos cossenos para achar o cosseno do ângulo gamma entre os lados a e b.

Passo 2

Denotemos por gamma o ângulo entre os lados de comprimentos a e b. A lei dos cossenos no triângulo afirma que
c^2 = a^2 + b^2 - 2,a,bcos(gamma)
Substituindo a=12, b=20 e c=28, obtemos
28^2 = 12^2 + 20^2 - 2cdot12cdot20cos(gamma)
784 = 144 + 400 - 480cos(gamma)
784 = 544 - 480cos(gamma)
480cos(gamma) = 544 - 784 = -240
cos(gamma) = -tfrac240480 = -tfrac12

Passo 3

A projeção escalar do lado de comprimento a sobre a reta de comprimento b é
projb(a) = acos(gamma)
Portanto
projb(a) = 12 times l(-tfrac12r) = -6

Resposta

A projeção é -6,m.

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