Determine a razão entre a soma dos quadrados das medianas de um triângulo e a soma dos quadrados dos lados desse triângulo.
Passo 1
O enunciado pede a razão
onde
,
,
são os lados do triângulo e
,
,
são as medianas correspondentes. O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema de Apolônio, que relaciona o quadrado de cada mediana aos quadrados dos lados.
Passo 2
Aplicando o Teorema de Apolônio para cada mediana, temos:
Passo 3
Somando as três expressões:
No numerador, agrupando coeficientes de
,
e
:
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Passo 4
Portanto a razão desejada é