Determine a razão entre a soma dos quadrados das medianas de um triângulo e a soma dos quadrados dos lados desse triângulo.

Passo 1

O enunciado pede a razão
ma^2 + mb^2 + mc^2a^2 + b^2 + c^2
onde , , são os lados do triângulo e , , são as medianas correspondentes. O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema de Apolônio, que relaciona o quadrado de cada mediana aos quadrados dos lados.

Passo 2

Aplicando o Teorema de Apolônio para cada mediana, temos:
ma^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^24, mb^2 = 2c^2 + 2a^2 - b^24, mc^2 = 2a^2 + 2b^2 - c^24

Passo 3

Somando as três expressões:
ma^2 + mb^2 + mc^2 = (2b^2+2c^2 - a^2) + (2c^2+2a^2 - b^2) + (2a^2+2b^2 - c^2)4
No numerador, agrupando coeficientes de (-a^2 +2a^2+2a^2) + (2b^2 - b^2+2b^2) + (2c^2+2c^2 - c^2) = 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 , ma^2 + mb^2 + mc^2 = 3(a^2 + b^2 + c^2)4 e :
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Passo 4

Portanto a razão desejada é
ma^2 + mb^2 + mc^2a^2 + b^2 + c^2 = tfrac34(a^2 + b^2 + c^2)a^2 + b^2 + c^2 = 34

Resposta

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